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可变样本大小的控制图
ANTONIO F. B. COSTA
FEG-UNESP, 12500 Guaratingueta, S. P., Brazil
使用控制图监测样品通常的做法是每小时从样品站中抽取n个样本。本文主要针对当每个样本的大小取决于上一个样本中观察到的内容时，观察X图表的属性。主要考虑的是，如果一个样品的的采样点与前一个样本接近，但实际上不在控制范围以外时样本应该是足够大的，如果样本点接近与目标，那么样品就选的小一点。变量的样本的性质（VSS）图使用的就是是马尔可夫链来解决。VSS 图基本上可以比传统的图更快的检测到过程中的微小变化。
介绍
标准的休哈特图控制图，由于其操作简单已广泛用于监控过程中。然而，这种简单的操作方式，即，只有一个样品点超出控制范围以外时每小时检测多个样品来寻找明确的改变，这使得控制图在检测微小变化过程中效果缓慢。
目前，已经提出了许多创新，以提高控制图性能。Champ和Woodall（1987）通过补充带链规则这一方法来确定控制图的属性；Reynolds，Amin，Arnold和Nachlas（1988）研究了可变抽样区间的控制图（VSI）控制图的性能。Cui和Reynolds（1988）研究了具有带链规则和可变抽样区间的控制图；Sawalapurkar，Reynolds和Arnold（1990）依据可变抽样区间和样本大小的控制图，用马尔可夫外链的方法来评价控制图的性能。Rendtel（1990）分析了可变抽样间隔和样本大小用累计和控制图（CUSUM）算法来研究这个问题，同时Montgomery和Runger（1994）也依据可变抽样区间和样本大小来研究考虑控制图。
由Park和Choi研究（1992）的可变样本大小的控制图的经济设计（VSS）。VSS 图表与预期的成本只使用两个不同大小的样本在每小时固定样本的图相比更经济。
Daudin（1992）考虑到双采样（DS）的方式分析了控制图的属性，即每h小时测试检验过程中采取两个样品，但是第二样品的分析仅在第一并不足以决定是否是在控制的过程时才进行。在实践中，控制双采集样品工作过程所需的难度，可能会阻碍图使用双采样。
本文根据检测过程速度变化的不同，将分析标准控制图与VSS控制图，VSI控制图和DS（ ）控制图在检测过程中的速度变化。 VSS 控制图的速度也跟（EWMA）控制图速度、CUSUM控制图和带有补充带链规则的控制图的速度也进行了相应的比较。
VSS（）图的描述
在这篇文章中假定的可变样本容量的控制图是用来检测维持一个受单一可变控制变量过程的。这个过程是在一个平均统计控制状态下开始的，其中u为标准偏差，表示平均目标值。从转变成,其中delta;gt;0。
在实验过程中， 每隔h小时从过程中获取可变样本容量的样本。样本均值绘制在Xmacr;控制图中，标注上下限制值，警戒限为k1delta;x和动作限为kdelta;x 的，其中0le;k1＜k和delta;是样本标准差。注意此时delta;的大小取决于样本容量的大小。为了便于展示说明，控制图上绘制的样本点将是标准化的样本数据 ，即
（ -）/delta;。在这种情况下，控制图的警告限和作用限分别为plusmn;k1和plusmn;k。因此，当样品的采样点在控制区间范围（-k，k）以外时，必然可以搜索到一个可分配的因素。
每个样本的大小取决于前面的样本中观察到的内容。如果样本点落在区间（-k1，k1）范围内时，则下一个采样大小（由n1表示）应当较小，如果采样点落在（-k1，k1][ k1，k）内时，那么下一个样本要大，记为n2。实验开始时或者出现较大误差后，可以随机的选择样品的尺寸，但优选的大的样品可能对实验的验证提供额外的保护，以防止在启动过程中出现的问题。
当满足k1= k和n 1= n 2= n时，它是一个常规的控制图。
VSS（）图的性能
具有固定采样间隔的控制图的性质由样本n的个数和从过程中获取的m个数决定，直到控制图产生明确的信号为止。 当时，N0和M0分别表示采样数量和项目的数量。当移动到时，N1和M1分别表示采样数和项目数。 样本数N0应该大，使得误报警的速率低，并且n1应该小，这也是，可以快速检测到确切的原因。
在控制图发出信号之前，采集的样本数称为链长长度（RL，Run Length），在控制图发信号之前采用的预期采样数称为平均链长长度（ARL，Average Run Length）。
当 时， 样品大小为： （1）
是伪警报的概率，Y~N(u,delta;2)表示Y是具有均值u和方差delta;2的正态分布随机变量。
当u=u0 时，平均样本容量大小n满足
其中，
（2）
它遵循的是：
使用马尔可夫链获得的数值:E（N1）和E（M1）的值为：（参见附录中的推导）
（3）
（4）
其中：
当= 0时，等式（3）和（4）简化为等式（1）和（2）。
容易地确定常规控制图的E（N1）和E（M1）的值，因为在这种情况下N1是几何分布的图形，并且所有样本都具有大小为n都有：
当 时
VSI控制图和DS（）控制图
Reynolds，Amin，Arnold和Nachlas等学者在1988年，研究了VSI控制图，观察到需要两个采样的时间间隔就足够了。 也就是说，当采样点子落在间隔（-k1，k1）内时，应该在采取下一采样之前等待时间长的间隔d2，并且当采样点落入间隔（-k，-k1]或[ k1，k）时，应该等待时间短的间隔d1，其中d1le;hle;d2。 第一个样本的样本大小（当过程刚刚开始时或在伪警报之后）应该随机选择。
Reynolds et al在1988年定义了调整的平均信号时间，其是对信号进行调整以考虑实际过程偏移与下一个样本之间的时间的平均时间。
当采样间隔固定在h = 1时，该值很简单。E(T1) = E(N1) minus; 0.5
根据Reynolds等人 （1988）VSI图检测调整的过程平均时间是
（5）
其中：
使用两个假设导出等式（5），首先，在间隔中的过程平均值的偏移的概率与间隔的长度和出现该间隔的间隔的概率的乘积成比例。 第二，过程平均值和下一个样本之间的移动之间的时间是均匀分布的。
Daudin在1992年分析了DS图，即两个大小为n1和n的样本n2，每隔h小时从该过程中取出。决定取决于样本的大小，是1和2。
表1：当n=4时，标准控制图与vss控制图中E（N1）和E(M1)的值
然后，当| a | ge;L或L1le;| a | le;L和| b | ge;L2时，该过程将被视为失控状态；并且当| a |lt;L1或L1le;| a | le;L和| b | lt;L 2时，该过程将被视为受控状态。其中L 1 lt;L。需要额外的数据来评估DS图的性能，因为决定过程处于控制中的概率只能使用数值积分来计算。
控制图的比较
一个控制图比另一个更有效，当它更快地检测过程均值的变化。 控制图应当在相同的、合理的条件下进行比较，即它们应该产生相同的平均虚警报的数量，并且在控制期内要求相同的平均数量的待检查物品。
在生产过程中，应定时抽取样本，把所得的弟子按照时间先后一一描述在图上。如果点子落在两控制界限之间，且点子的排列是随机的，则表明生产过程仅有偶然性因素导致的随机误差存在，生产基本正常，处于统计控制状态，生产过程可不比干扰；如果点子落在两控制界限之外，或者点子的排列是随机的，则表明生产过程有系统性因素导致的系统误差存在，生产是不正常的。处于非统计控制状态，此时必须对生产过程采取措施使工序恢复正常。这样可用控制图对生产过程不断地进行监控，能够对系统性原因的出现及时报警对生产过程进行监控。
如果标准图和VSS 图具有相同的采样间隔，则它们具有相同的误报率。 在控制时段期间，从过程获取的项目数目的平均对于两个控制图是相同的，当k1的值为使得
因此，可以针对delta;，k和n的几个值比较两个图表的E（N1）的值，以确定哪个图表将更好地检测mu;的变化。 对于n = 4，E（N1）的值出现在表1中，对于n = 5，E（N1）的值出现在表2中。 为每个delta;选择n1和n2的值以最小化为E（N1）。
标准图的主要优点是它们的简单性和它们能检测大位移的速度（即dgt; 1.5）。 主要缺点是它们不能快速检测过程中的微量变化（即0.5 lt;eth;lt;1.5）。 在这种情况下，VSS图表基本上更快。 表1和表2可用作选择的准则
K1，n 1和n 2的值。
表2：当n=5时，标准控制图与vss控制图中E（N1）和E(M1)的值
例如，当一个人有兴趣发现过程平均值中的适度变化（即，delta;= 1.0）时，表1示出了如果决定使用VSS控制图而不是具有k = 3.00和n = 4的标准图，n 1，n 2和k 2的最佳值是2,13和1.33。 该决定减少了过程保持“失控”超过一半的时间。 当eth;lt;0.5时，最佳n 2太大，但是不能在实践中采用。
为了比较，考虑具有相同采样间隔为h的标准和VSS控制图，以及具有相同采样大小n的标准和VSI图表。 三个图表将具有相同的误报率，并且当mu;=mu;0时，将从过程中获取相同的平均数量的项目，如果VSS控制图的
k1被设置为使得， 并且设置用于VSI图表的k1
以这种方式，可以针对几个delta;的值比较三个图表的E（T1）的值，以确定哪个图表将更好地检测mu;的变化。E（T1）的值出现在表3中，其中
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