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在马尔可夫转换市场中，通货膨胀的最佳投资消费策略
吴慧玲
中央财经大学，北京，中国
摘要 本文研究通货膨胀下的投资消费问题。假设消费价格水平、可用资产的价格和电力效用系数是合理的， 功率效用的系数被假定为对连续的马尔可夫链所调制的潜在经济的状态敏感。可容许策略的定义及与此随机控制方案相对应的验证理论被提出。导出了最优投资策略的解析表达式。证明了最优消费的存在性、有界性和可行性。最后，我们详细地进行了分析。 通过数学和数值分析，分析了风险规避、通货膨胀与股票价格的相关系数、通货膨胀参数、效用系数的影响。 优化投资和消费策略。
- 介绍
投资消费优化问题一直是决策者追求跨期消费和终端财富预期效用最大化的历史课题之一。 经典的投资-消费模型可以追溯到萨缪尔森、哈坎森、法马和默顿的基础工作。他们的基础工作鼓舞了各种人在过去四十年中从不同方面扩展和应用，包括Zariphopoulou，Akian等人。与交易费用，Taksa R和Sethi和Zariphopoulou破产，Munk和S rensen]和Wang和yi具有随机利率或随机收益率，Munk和Dybvig和Liu具有随机收益，Pliska和YE和Kwak等购买人寿保险。
无论模型是什么，现有的研究论文都在资产价格不确定的情况下，共同制定了投资者进行投资消费决策的一般条件。 然而，对资产价格的不确定性也来自背后的经济的不确定性。无论模型是什么，现有的研究论文都在资产价格不确定的情况下，共同制定了投资者进行投资消费决策的一般条件。然而，对资产价格的不确定性也来自背后的经济的不确定性。更具体地说，现实世界中的市场模式通常有有限的状态，如“看涨”和“看跌”，可以在他们之间切换。它被称为“政权转换”。实证分析表明，资产收益率，如股票的升值率和波动率等，均为资产收益率。对基本经济状况敏感，在不同的州有很大不同。对于考试，Hardy使用多伦多证券交易所300指数和标准普尔500指数的月度数据来拟合一个制度转换日志-正常模型，并发现体制转换的模型比所有的模型都要好。通常情况下，市场状态的变动是由一个连续的有限状态的马尔可夫链所描述的，而资产的回报则被认为是当前市场状态的函数。在过去的几年里，在金融和精算科学中使用体制交换模型是很有兴趣的。在此，我们将根据研究课题，对相关文献进行回顾。
近年来，通货膨胀现象在发达国家和发展中国家引起了严重关注。当物价水平持续上涨超过一个可容忍的极限时，通货膨胀在投资行为上会造成许多扭曲，对人们的日常生活产生很大的影响。通货膨胀的持续会降低正常金融产品的投资热情。 因为投资者并没有真正赚钱。他们更喜欢购买土地和其他资产，这些资产能产生快速的资本收益。由于这些钱现在比将来更值钱，所以需要储蓄。例如，如果银行账户的回报率为4%，通货膨胀为5%，那么实际的回报是投资将减少1%。此外，当商品价格上涨时，消费者无法像以前那样购买，因此他们选择大幅度削减日常预算。然而，通货膨胀问题对全世界人民来说是相当普遍的。因此，我们认为考虑投资消费问题具有重要的理论和实践意义。
然而，上述任何一篇论文都不考虑随机通货膨胀。在这里，我们介绍一些现有的文献，考虑通货膨胀。对于通货膨胀下的最优投资组合选择问题，蒙克等和Chiarella等人。目的在于最大限度地利用终端实际财富的预期电力效用，为投资者获得封闭式投资策略。随机通货膨胀和工资收入下的效用投资者。对于定义的通货膨胀下的薪酬管理问题，Battocchio和Menoncin[40]考虑了随机利率、工资收入和通货膨胀的最优养老金管理。他们 希望最大限度地利用终端财富的预期指数效用，并为这个问题找到了一个封闭的解决方案。Zhang和
Ewlad认为金融市场是由货币组成的。 账户，股票，通货膨胀债券。他们希望从终端财富中获取最大期望的电力效用，并利用鞅方法获得最优投资策略。假定退休人员得到了一项保证，作为一种不利的保护。在功率效用函数下得到了闭形解。对于通货膨胀下的最优消费问题，Brennan和Xia研究了下的中期消费问题。 并得到了消费的显式表达。Menoncin[46]将Menoncin[38]推广到具有跨时相消耗的情况。他的目标是最大限度地提高预期中的哈拉·尤蒂 性的跨期消费加上随机收入和通货膨胀下的终端财富和计算机对最优消费和投资quasiexplicit溶液。Chou等人。 [47]考虑了名义债券和指数型债券随机通货膨胀下的最优组合消费问题。他们分别研究了一个旨在使期望最大化的优化问题。 固定终端时间下的终端财富和无限期时跨消费效用最大化的最优化问题。天堂等人。[ 48 ]研究了存在和 美利坚合众国自1950年代以来消费功能的稳定。他们引入通货膨胀作为一个额外的解释变量来分析生命周期消费函数。
我们论文的其余部分如下。第二节介绍了问题的表述和验证理论。投资策略和消费的显式表达是在第三节中。第四节对投资策略的性质进行了数学分析。在第五节中通过数学和数值演示分析最优消费比例的性质。在第六部分中总结这篇论文。
2.问题表述与标注
在这篇文章中，有一个银行账户和一个股票交易在一个时间范围内，它的价格过程依赖于潜在经济的状态。在这里,市场状态的演变是由连续的时间马尔可夫链取离散值在有限的空间。银行账户的价格过程满足，下列微分方程:
（1）
银行的瞬时利率对应于市场状态的帐户。他进化股票的价格过程受以下因素的控制马尔可夫团转换几何布朗运动：
， ， （2）
是标准的一维布朗运动和分别是与市场状态相对应的股票的升值率和波动率。让表示每单位消耗品的名义价格水平。的演化被认为是遵循随机微分方程的：
是一个标准的一维布朗运动和分别是预期的通货膨胀率和波动率。一般来说，我们假设和与相关系数相关。关于[50]，可以表示为:
是一个独立于的标准一维布朗运动。此外，我们假设和是相互独立的。在提到Menoncin [46]时，变量这是一个名义货币单位的购买力。此外，如果我们确定一个货币单位的价值可以用它来购买的商品的数量也可以被解释为货币的价值。
投资者以初始财富在0时刻加入市场计划投资和消费他的财富在一个固定的时间范围内。让是可用的财富及时投资于股票是真正的消费，也就是，两者之间的比率名义消费和价格水平。名义财富过程满足随机微分方程:
在考虑通货膨胀后，以的实际财富水平表示。根据伊藤的公式，
投资者的优化问题可以通过以下方式来描述
折扣率和可接受策略的集合在下面。在我们的论文中，效用函数被定义为，其中。为了方便起见，用表示可接受的层。我们可以把value函数写成
然后，最优的投资消费问题可以用动态规划方程来表述
如果没有提供验证定理，那么最优性条件（9）是不够的，所以在给出这个问题的显式解之前，我们提出了验证定理。让表示所有连续函数的集连续可微的。
定理2让作为HJB方程的解（9）和边界条件。如果对所有，所有可接受的条件
(a) ;
(b) 如果存在可接受的战略是（9）的最大值，然后是。此外，是一种最优策略。
自然和社会的离散动力学表示：
然后我们有：
我们首先假设是有界的。当和和是可接受的，根据定义1，我们知道
因为解决了HJB方程（9），在上面的等式两边都有期望
在一般情况下，当可能不受限制时，对于一个相对固定的时间，我们定义
当p满足和。是随机过程的第一个出口时间。而且，作为增加到概率为1。因为现在是有界的，引用上面的分析，我们可以推导出
方程（10）表示的均匀可积性。因此,我们有
这意味着.
（b）在采取战略时，不平等变成了平等。因此,结论(b)合适。
3.最优投资消费策略
在这一节中，我们假设投资者的效用是由电力效用函数给出的
是偏导数。如果和，分别对和在（21）中进行微分，就会给出如下的最大值：
接下来我们将展示和财富过程
引理3.如果解出（24），那么
- 此外，一致地从下面限制;也就是说，存在一个常数
（b）是（24）的唯一连续解，在处有一个一致的上界。
自然与社会的离散状态。上面这个方程的解就是这个形式。
这是一阶常微分方程的方程组。因为是一致的，满足这个条件
然后
之后
因此
导致
很明显，这满足了李普希茨的条件。（24）有一个唯一的连续解。一个连续的函数在一个接近的区间中，必须有一个上界。如果我们定义，我们知道有一个一致的上界。
下一步是证明在（22）（23）中的随机微分方程（6）有一个等式，唯一和非负的解决方案。他的主要结果在下面的引理中出现。
引理4 对于任何初始财富，随机微分方程（6）在和中都有一个唯一的非负解。此外,
引理5 （22）中和（23）中是可接受的，然后是电力效用模型的最优策略。
因此，对于所有，都有。
接下来，我们将证明，一个维度标准布朗运动在是一个列向量，它的分量在处都是一致的。对于任意，我们有
证明:根据引理4，我们知道定义1中的条件（i）和（ii）对所有都保持不变，
因为和是时间确定的。
现在我们已经验证了和是可接受的。因此，对于电力效用模型来说，这是最优的。
下一项工作是证明候选人价值基金在（20）中，满足了定理2中的所有条件。首先，很明显，是（9）的解。此外，对于任何和可接受的控制有一个，这样
上面的详细分析给出了这个结果的主要结果在下面的定理中呈现。
定理6 最佳投资比例和最佳消费比例动力效用模型分别是
- 最优投资比例的分析
首先，如果没有通货膨胀，通过（50），最优投资比例是
这清楚地表明,当市场状态有较高的预期回报单位或投资者降低风险规避,风险投资者想投资股票更高比例的财富,这是一个结论在现有的古典文学,如果投资者不需要面对通货膨胀。
然而，当存在通胀时，这个结论可能不会这样。首先，我们可以证明更高的期望回报单位风险不会导致更高的投资比例。没有通货膨胀的情况下通过（50）投资比例与投资组合相比减少了。这个量增加了考虑到通货膨胀率的波动率和相关性系数。当，也就是股票价格和内导指数由相同的布朗运动调制，投资比例下降幅度最大。这意味着，如果股票和商品价格水平同样的波动趋势，中导率的波动性也会减小投资比例是最大的。因此,当每单位预期收益的增加幅度要低于在通胀波动的情况下，投资者不会购买更多的股票股票，甚至可能卖空股票，因为他担心通货膨胀的高波动性将严重损害他的经济投资回报。
接下来，我们将介绍风险规避影响下的投资比例。
引理7 当投资比例随着风险的增加而增加。当投资比例随着风险的降低而降低
很明显，引理的结论是站得住脚的。
备注8 当，时成立。因此，在没有通胀的模型中投资比例随着风险的增加而增加。
备注9 当没有通货膨胀时，投资在部分是一个正数，如果。然而,这个结论在通货膨胀的情况下是不成立的。当时，也就是风险公差大于1，也就是说，风险承受能力小于1.
备注10 如果， 投资比例将根据风险承受能力下降。此外，如果风险承受能力足够高，投资者将倾向于卖空她/他的股票，而卖空的比例则根据风险承受能力的增加而增加。
- 最优消费比例的分析
由
定义消费比例。接下来，我们将详细分析风险规避的影响，相关系数，通货膨胀指数的预期利率和波动率消费比例的效用系数。我们假设无风险回报率是常数独立于时间和市场状态，以及升值股票的利率和波动率取决于市场。假设有两个市场状态，，，，，折现率，时间范围
引理11 当是在的常数，且，消费比例是根据相关系数，
引理12 如果预期的通货膨胀率增加，消费比例就会降低。
让和，分别增加和从0.05到0.15，步长0.02，同时保持其他参数不变;得到图4。但是如果我们在保持其他参数不变的情况下改变为0.5，我们就得到了图5和6。图4-6表明，如果风险厌恶大于1，那么预期的通货膨胀化率越高，消费比例越低;否则，如果风险厌恶小于1，那么投资者最好的决定就是在当前的时候消费高比例的他/她的财富，而不管市场状况如何，未来的预期通胀率都很高。
当我们增加从0.15到0.25时，现象就会发生，而保持。为了解释这一点，我们注意到图7中有一个结果，即波动率越高，投资比例越低（50）。因此，更多的财富被用于个人消费。
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