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奇异拉普拉斯方程的周期解
鲁世平，张涛，高雅静
摘要
在本文中，问题的周期解的存在性研究奇异拉普拉斯方程在x = 0和x = infin;。利用拓扑度理论，得到一些新的结果，并给出了一个例子来说明我们的结果的有效性ff。我们的研究丰富了二阶微分方程的二ff具有奇异性的内容。
关键词：离散方程；拓扑度；奇异性；周期解
1引言
周期解的常微分方程奇异性吸引了众多研究者的关注，因为在应用科学的背景问题。Lazer和Solimini在[7]中考虑了周期性解决方案的问题，对于具有两个基本例子所提出的奇点的方程
（1.1）
（吸引力和恢复力）
（1.2）
（排斥恢复力），在alpha;gt;0是一个常数，H: R→R是一个周期连续函数。对方程的正周期解存在的一个必要条件（1.1）是macr;H gt;0，和一个方程的正周期解存在的必要条件（1.2）是macr;h＜0，通过使用方程（1.1）中的上下解方法和方程（1.2）中的Schauder固定点理论的方法，他们已经表明，如果在方程（1.2）中还假设alpha;ge;1，那么这些条件也是充分的。[8]中的Jebelean和Mawhin考虑拉普拉斯方程形式为：
（1.3）
和
（1.4）
施普林格 copy;2016年路等。本文是分布式知识共享条件下许可证分配4.0国际（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/），这允许无限制的使用，分配和复制，在任何介质，提供你给适当的信用给原作者。提供了知识共享链接，如有改动请指出。
在P＞1是恒定的，F（0， infin;）→r is an arbitrary连续函数，H：r→r是T -周期函数以及hisin;Linfin;[0，T]。他们扩展结果激光和p-Laplacian方程算子。我们注意恢复力条件方程研究中7.8，不是奇异当X = infin;。到目前为止，最权威的知识，有很少的研究表明方程奇异在x = infin;例如，张在[9][研究方程周期解有无裂变奇异性在x =0和奇异力量在x = infin;条件
tlt;0lt;T.
通过mawhin的延拓定理中的重合度的理论[10]，获得存在周期解的结论。在进一步的研究[11]，王正周期解存在的条件是延迟方程有无裂变奇异性在x =0和小力奇异条件在x = infin;
在[12-14]，存在周期解拉普拉斯方程是受算子p的影响。然而，这些恢复力方程的条件都是独立变量。
上述工作的目的，本文，我们研究正周期解存在性的T为p-Laplacian算子型奇异以形式：
（1.5）
和
（1.6）
当pgt;1是一个恒定解，f：[0, infin;) →R是一个任意函数，：Rtimes;[0, infin;) →R是一个连续函数， (t T,x)= (t,x)对所有（t，x）isin;Rtimes;[0, infin;)，isin;C（(0, infin;),(0, infin;)）并且= infin;，h是一个以T为周期的函数并.来自相应的定义[3,7-9],我们发现方程（1.5）和（1.6）都是单数当x=0，并且方程（1.5）是吸引力类型，方程（1.6）是排斥类型。
有趣的是，本文的主要结果是适用于任何阻尼力项f（x）而不会对他施加更多的条件fisin;（[0, infin;）,R)，我们不仅考虑在x=0处的奇异性方程（1.6），我们还考虑了在x=0处具有吸引力奇点的方程（1.5）.此外，对于方程（1.5）和（1.6），除了（x）在x=0是奇异的，我们认为当x= infin;时， (t,x)为导数。当然，将需要对g（t，x）进一步增加对变量x的限制。
2 初步的引理
以下俩个引理都（引理2.1和引理2.2）是3.1中[15]的结果.
引理2.1 假设存在，使得下列条件成立。
- 对于每个，每个可能的正T周期解x代入方程中
满足不等式
- 对每一个解c带入方程
- 我们有
方程（1.5）至少有一个周期解u满足
引理2.2 假设存在常数 使得以下条件成立。
- 对任意，每一个可能的周期解x带入方程
满足不等式
- 每一个可能解c带入方程
满足不等式.
- 我们有
方程（1.6）至少有一个周期解u使得
引理2.3【5】令u是中任意函数，，则
，
当
为了研究方程（1.5）和方程（1.6）正周期解的存在性，我们作出如下假设：
是均匀的；
是均匀的；
是均匀的；
是均匀的；
现在，我们将方程（1.5）和（1.6）嵌入到下列俩个方程组，其参数
（2.1）
和
（2.2）
引理 2.4 假设成立，那么存在常数,.使得
- 对于每一个方程（2.1）的可能周期解，存在使得
；
证明 假设中存在，使得
（2.3）
当.则
对所有. （2.4）
令为方程（2.1）的正T型周期解，如果对于所有有，方程（2.3）可变为
于是
（2.5）
但是，通过在上整合方程（2.1）并使用周期性条件，我们就得出
（2.6）
这与（2.5）相矛盾，这个矛盾说明存在一个使得
（2.7）
另一方面，假设存在一些使得
（2.8）
当则
对所有. （2.9）
令为方程（2.1）的正T周期解，若对所有，那么通过（2.8）我们得出
（2.10）
对比（2.6）和（2.10），我们发现存在使得
（2.11）
显然，（2.7）与（2.11）确保了引理2.4的结论（1）成立,并且引理2.4的结论（2）来自（2.4）与（2.9）.
通过类似于引理2.4证明的争论，我们得到以下结果。
引理2.5 假设成立，则存在常数使得
（1）对方程(2.2)每一个存在的正T型周期解,存在使得
；
（2）
3. 主要结论
定理 3.1 假设连同以下假设成立：
；
存在常数使得对所有；
，其中是以一个由引理2.3决定的正常数，
那么方程（1.5）至少有一个正T型周期解。
证明 首先，我们讲证明存在，使得每一个正T型周期解满足不等式：
（3.1）
事实上，如果u是方程（2.1）的正T型周期解，则
（3.2）
在上整合（3.2），我们得到
（3.3）
用乘以（3.3）并在上积分，得出
与(3.3)联立得
（3.4）
由得出
利用引理2.4给出的
于是，通过霍尔德不等式，我们得到
（3.5）
对所有连同（3.4）得
（3.6）
令，则，通过利用引理2.3，我们得出
和
通过整合（3.6），我们得到
即
当通过得出存在一个正常数使得
并且，通过（3.5）我们得出
对所有 （3.7）
现在，如果u在内当达到其最大值，那么，我们从（3.2）中推断出
对所有，因此，如果，则
（3.8）
当，通过（3.3）得出
将它带入（3.8），我们有
通过，我们发现
因此，我们有
, （3.9）
和
, （3.10）
当，方程（3.7）和方程（3.10）确保了（3.1）成立。
下面，我们将证明存在一个常数，使得方程（2.1）的每一个正T型周期解都满足
对所有 （3.11）
假设是方程（2.1）的一个正T型周期解，那么满足方程（3.2），即
（3.12）
令在引理2.4中确定，用乘以（3.12），再在区间整合，我们得到
（3.13）
设，则显然是一个常数，并，当 ，所以
带入（3.13），我么得出
这产生了估计
通过（3.9），我们得出
这使
其中
从中存在使得
，对所有 （3.15）
因此，如果有一个使得，那么从（3.15）我们得出
这与（3.14）相矛盾。这个矛盾表明对所有，所以（3.11）成立。
令是俩个常数，则从（3.2）和（3.1），我们发现每一个可能的正周期解u满足
这表明引理2.1的条件1和条件2满足，同时，我们可以从引理2.4中推断出
其中
和
其中，
这导致
所以引理2.1的条件3成立。通过利用引理2.1，我们发现方程（1.5）至少有一个正周期解。证明完毕。
利用引理2.5和引理2.2，我们能够发现以下结果。
定理3.2 假设同一下假设同时成立；
中有常数，使得对所有
是引理2.3决定一个常数。
则方程（1.6）至少有一个正周期解。
例题3.1 考虑下面的等式
（3.16）
其中f是一个任意的连续函数，是一个常数，对应的方程（1.5），我们可以假设，。通过简单计算，我们检验出猜想都满足。因此，利用定理3.1，我们发现方程（3.16）至少有一个正2pi;型周期解。
利益争夺
作者声明他们没有竞争利益。
作者的贡献
所有结果归因于SL,TZ和YG。作者阅读并比准了最终稿件。
致谢
该工作由国家自然科学基金资助（编号11271197）。 作者感谢匿名裁判提出了建设性意见和建议，大大改善了本文。
收到日期：2016年1月7日接受日期：2016年5月26日
参考文献
1.张磊先生：带电线附近原子周期性运动的扭曲性质。快报。 数学。物理学。 60（1），9-17（2002）
2.Torres，PJ：具有非线性非线性项的二阶半线性非齐次微分方程周期解的存在性和稳定性。PROC。 R. Soc。 Edinb。，Sect。 A 137,195-201（2007）
3.Hakl，R，Torres，PJ：具有吸引 - 排斥奇异性的二阶微分方程的周期解。J. Di ff er。EQU。 248，111-126（2010）
4.Fabry，C，Fayyad，D：具有p-Lapl
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