和型数的研究外文翻译资料

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和型数的研究

陈永高

摘要：本文我们证明对任意正整数,至少有三个不同素因子的正奇数构成的集合包含无穷等差数列。同样的结论对也成立。

关键词：Erdos问题，同余覆盖系，素因子。

1 引言

Romanoff已经证明了能够表示成型的正奇数在所有正奇数集合中有正渐进密度，其中是素数，是非负整数。在1950年，P.Erdos证明不是以型的正奇整数有一个无限的算数级数，Cohen和Selfridge证明了存在一些奇数既不能写成和的形式又不能写成2或是某些素数的幂次形式，Chen有以下证明结果：不以型为代表的正奇数集合（为截然不同的奇素数，是非负数）存在较低的渐进密率，而正奇数的较低的渐进密率（例如型）存在至少三个截然不同的素因子（是正整数）。

在1960年，Sierpinski证明有无限的正奇数（例如型）是可分解的（是正整数），另一方面，Erdos和Odlyzko证明了正奇数的渐进密率是素数（例如是一个素数，其中是正整数），Chen证明了含有正奇数的式子的集合中，（例如 型，至少有三个截然不同的素因子，其中为正整数）存在较低的渐进密率。

根据Szemeredi的著名结论中，在一个有着较低渐进密率的正奇数的集合中存在已知长度的算数级数，其他有关信息，请看Guy,Jaeschke,Stanton,Williams。在这里，我们证明和型的每一种情况，都存在无限的算数级数（在以上的正奇数的集合里）。

在本文中，所有的奇数为正奇数，如果每一个满足（mod ）,我们称是一个-覆盖系统，只有和（），我们把正整数叫做次序为的素因子。

定义：是一个（2,1）素数-覆盖系统，如果是一个-覆盖系统，存在截然不同的素数，是一个次序为的（2,1）素因子（）。

对于来说，我们不清楚是否存在一个（2,1）素数-覆盖系统，为了证明，我们让：

={至少有个截然不同的素因子，为正整数}。

={有至少个截然不同的素因子，为正整数}。

在这里，我们要证明以下的结论：

定理：存在一个（2,1）素数-覆盖系统，使得：

（1）包括一个无限的算数级数。

（2）包括一个无限的算数级数。

由此可得：

（1）包括一个无限的算数级数。

（2）包括一个无限的算数级数。

注：如果是一个（2,1）-素数m-覆盖系统，是一组素数，我们需要证明：

这里是*的较低渐进密率，目前定理的证明相比有较大的不同，同时，比的证明条件弱。

2 证明

我们设是素数，让是最小的正整数，其中，，是正整数，且，我们称与具有关联性，如果且是次序为 的（2,1）-素因子，按照标准的方法我们可以证明是一个次序为的（2,1）素因子，然后在证明任何一个非负整数，可以得出：

如果存在两个非负整数和，可以得出：

。

定理证明：

我们假设是一个(2,1)素数-覆盖系统，是一组素数，对于每一个来说，存在一对数与存在一定的关系，进而使得是截然不同的素数。（标记：如果,存在至少一个次序为的（2,1）-素因子）。

存在整数，使得成立。

存在正整数，满足：

. .

对于每一个非负整数都有：

.

是一个-覆盖系统，满足：

.

对于每一个来讲，满足：

.

其中中有意义的有个，所以，能至少被个素数分解。

对于，，有：

现在我们假设，对于所有的来说，容易证明，则可以得出，，第一个定理证明完毕。

下面开始证明定理（2）

与（1）相同，整数满足：

对于非负整数，有，与（1）类似，我们可以证明对于一些来讲，，然后，，如果（对于所有的来讲），得出：

我们可以得出，这个是完整的定理（2）证明。

证明推理：

令

都是（2,1）素数1-覆盖系统，是一个（2,1）素数2-覆盖系统，（实际上Crocker也是一个（2,1）素数2-覆盖系统），所以推论来自于定理本身。

参考文献

1. A. S. Bang, Taltheoretiske Underso% gelser, Tidsskr Mat. (5) 4 (1886), 70-80, 130-137.

2. G. D. Birkhoff and H. S. Vandiver, On the integral divisors of anamp;bn , Ann. Math. 5(1904), 173-180.

3. Y. G. Chen, On integers of the form 2np:11 p:r r , Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000),

1613-1616.

4. Y. G. Chen, On integers of the form k2n 1, Proc. Amer. Math. Soc., to appear.

5. F. Cohen and J. L. Selfridge, Not every number is the sum or difference of two prime

powers, Math. Comput. 29 (1975), 79-81.

6. R. Crocker, On a sum of a prime and two powers of two, Pacific J. Math. 36 (1971),

103-107.

7. P. Erdo_ s, On integers of the form 2r p and some related problems, Summa Brasil. Math.2 (1950), 113-123.

8. P. Erdos and A. M. Odlyzko, On the density of odd integers of the form ( pamp;1) 2amp;n and related questions, J.Number Theory 11 (1979), 257-263.

9. R. K. Guy,Unsolved Problems in Number Theory,2nd ed, Springer-Verlag, New

York, 1994.

10. G. Jaeschke, On the smallest k such that all k，2N 1 are composite, Math. Comput. 40(1983), 381-384; Corrigendum, Math. Comput. 45 (1985), 637.

11. N. P. Romanoff, Uber einige Sa tze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann. 57 (1934),668-678.

12. W. Sierpin_ ski, Sur un proble_me concernant les nombres k，2n 1, Elem. Math. 15 (1960),73-74; Corrigendum, Elem. Math. 17 (1962), 85.

13. R. G. Stanton and H. C. Williams, Further results on covering of the integer 1 k2n by primes, in Combinatorial Mathematics VIII, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 884,pp. 107-114, Springer-Verlag, Berlin_New York, 1980.

14. E. Szemeredi, On sets of integers containing no k element in arithmetic

progression, Acta Arith. (1975), 199-245.

15. K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, Monatsh. Math. 3 (1892), 265-284.

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