探索数学外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

探索数学

作者：Daniel Grieser

国籍：Germany

出处：Springer International Publishing

中文译文：

摘要：在数学研究的过程中，你要观察、发现规律、洞察、猜测. 为了要确定一个猜想是正确的，你需要一个证明. 如何找到一个证明完全是另一回事. 经验会有帮助，而且掌握解决问题的策略，了解证明的主要类型和模式是很有用的.

一般的证明类型有直接证明、间接证明和反证法. 证明模式更特定于上下文. 在本文中，你将学习一般类型的证明和一些关于公式证明、存在证明、不存在或不可能证明中常见的模式. 当然，在寻找你自己的证明方法时，你的创造力是无限的.

关键词：证明；反证法；直接证明；间接证明

证明是一个命题在逻辑上的完整论证. 只要我们还没有证明一个命题，它就有可能是错误的——即使它得到了许多例子的支持.

例：在年，研究了. 他注意到、、、和是素数. 例如：，，. 因此，他猜想对所有都是素数.

大约年后，欧拉在年发现不是素数：它可以被641整除. 今天，数被称为数.

这表明示例可能具有很大的误导性. 所以，如果我们想要确定一个命题是正确的，我们就需要一个证明.

此外，一个证明可以让你对一个事实有更深的理解. 一个很好的例子是公式在节中的证明.

一般证明类型

我们经常想要证明形式为的命题，为此，我们可以用不同的方式进行.

直接证明

证明由以下步骤组成，这些步骤的有效性是显而易见的，或者是以前证明过的：我们不直接证明，而是证明.

间接证明

我们假设结论是假的，并由此推出前提也必须是假的. 因此，与相比，我们证明了，这在逻辑上是等价的. 当然，后一种证明可以由几个步骤组成.

反证法

与间接证明非常相似. 我们假设为真，为假，由此导出一个矛盾(虚假陈述). 所以我们证明了和. 由于真命题只能包含真命题，因此和是假的. 这在逻辑上等同于.

有时没有前提：我们想证明一个命题，一个直接证明从已知的主张得出结论，一个由矛盾的证明得到一个来自于的假陈述. 这里有两种更一般的证明.

通过反例

为了反驳一个“所有”的命题(即为了证明它是错误的)，只需举一个反例就够了.

数学归纳法

这通常可以用来证明形式“对所有hellip;”的命题见第三章.

我们已经看到了反例的反驳：关于费马数的命题“所有：是素数”，证明了不是素数.

备注：在证明中，你可以使用以前证明过的命题，或者在给定的上下文中被认为是已知的命题. 在严格的数学公理构建中，当你开始学习数学时，你会学到它. 在大学里，你只允许使用公理或命题，这些公理或命题是由公理之前证明的. 这可以保证所有已证明的命题都是正确的—假设只是公理是真的. 你必须从某个地方开始，以这种方式进行可以使这个“基数”非常小.

下面是一个直接证明的简单例子.

定理：两个偶数之和是偶数.

我们首先重新表述这一点，以清楚地表明前提和结论：

声明：令是偶数. (前提)

那么是偶数. (结论)

证明：既然是偶数，就有，使得和（这是“偶数”的定义）. 然后. 我们有，因此，也是具有 ()的形式，因此是一个偶数.

证明分析：这是一个直接的证明. 我们首先应用了“偶数”的定义. 然后有一个中间步骤：用分配律计算. 然后我们再次应用了这个定义.

我们现在考虑了一些常见的命题类型和典型的证明模式.

公式的证明

公式表示数字或其他数学对象之间的一般关系. 在前几章中，您已经遇到了许多公式，例如或计数公式.

有时在研究一个问题时，你会猜测一个公式(例如在问题中). 然后你需要证明它.

公式的典型证明模式：

结合已知公式直接推导；

数学归纳法(见第3章)；

计数的两种方法(见第5章).

当你深入到数学中时，你就会知道更多的推导或证明公式的方法. 其中之一是第二章中递推的解.

现代数学的观点是，公式通常是结构(例如几何物体、代数结构等)之间深层关系的表达. 这方面的一个例子是以两种方式计算.

存在证明

许多数学问题都与某些对象的存在有关：方程有解吗？有数字，三角形，图表hellip;有特定的属性吗？

例如，下列方程是否有一个解(实数)：

：我们可以给出一个解：.

：这个方程没有解，因为左边的式子对所有实数来说是正的.

：这更难. 试几个的值. 你不太可能找到解决办法. 但方程确实有一个解. 然而，这只能用分析中的中间值定理来证明.

所以证明存在的最简单的方法就是展示想要的对象. 但是，我们经常想要证明这样的命题“对于所有的，有hellip;”，其中是一个无穷集. 也就是说，我们需要无限多的存在证明——或者一个对所有都有效的证明. 最简单的方法是给出一个总体结构.

以下是两个例子：

定理：对于每个奇数，都有两个平方数，它们的差值等于.

试着找出一个一般的结构，也就是从中寻找这样一对平方. 使用问题解决策略(例如，查看小示例).

证明：因为是奇数，我们可以把它写成，其中. 然后.

证明分析：我们需要为无穷多个奇数中的每一个提供一个存在性证明. 这是由一个一般的构造完成的，在这种情况下，这是两个平方的一般公式.

定理：对于任何三角形，都有一个与所有三个顶点的距离相同的点.

分析：我们怎样才能找到这点呢？我们首先简化这个问题：与其要求三个点的距离相同，不如用两个点的相同距离来满足自己. 所以我们问：给定平面上的两个点，，哪个点与和的距离相同？也许你还记得学校给你的答案：这些正是直线段垂直平分线上的点.

从两个点到三个点、、点的相同距离是如何得到的？

首先考虑点，，然后点，：我们正在寻找的点必须位于的垂直平分线和的垂直平分线上，所以它必须是这两条线的交点. 它们相交吗？是的，如果它们不是平行的. 为何不平行呢？因为，不是平行的，如果是一个三角形.

我们把证明过程按顺序写出来.

证明：用表示三角形的顶点. 设是边的垂直平分线，是边的垂直平分线. 的每个点与和的距离相同，的每个点与和的距离相同.

由于边，不平行，线和不平行，因此它们有一个交点. 我们称之为点.

因为在上，所以它与和是相同的距离. 因为在上，所以与和是相同的距离，所以与是相同的距离.

证明分析：我们要证明任何三角形的一个特殊点的存在性. 为此，我们进行了总体建设. 为了找到结构，首先考虑问题的一个更简单的变体是有用的.

有时我们不仅要证明某一类型的单一对象的存在，而且还要证明无限多这样的对象的存在. 这类似于证明“对于所有，都有hellip;”类型的命题. 以下是一个著名的例子.

定理：素数无限多.

证明：我们给出了这样一个过程：对于任意有限的素数集，它产生一个不包含在这个集合中的素数.

令为素数. 假设. 这显然比的每一个数字都大. 所以，如果是素数，那么我们就完成了.

如果不是素数，那么它就可以被素数整除. 称这个素数为. 由于可被整除，所以不可被整除. 因此，不能被整除，因此不是中的一个素数.

我们已经证明了，对于任何有限素数集，都有另一个素数不包含在集合中. 因此有无限多的素数.

证明分析：这是一个有建设性的存在证明. 我们可以用反证法来表达同样的思想：假设只有有限的素数. 然后像上面一样构造一个素数，它不出现在其中. 这与是所有的质数的假设相矛盾.

一般结构的限制

在许多类型的问题中，表明“对于所有的都有一个令人满意的hellip;”(其中是某种数学对象)你将经历以下情况：你可以通过找到一个来证明许多特殊的情况(例如). 但是你找不到一个对所有都有效的一般结构，你也找不到一种模式可以把你引向这样的结构. 你将在以下章节中遇到这样的问题，在这种情况下，你将了解到两个深远的想法：鸽子洞原理和极值原理. 让我们总结一下：

证明存在的典型模式

证明一个物体存在的最简单的方法就是展示它. 为了证明一个类型的命题“对于所有，有hellip;”，你可以给出一个适用于所有的通用结构，或者尝试以下策略之一：

鸽子洞原理(见第9章)

极值原理(见第10章)

当然，一般的证明策略，如反证法或数学归纳(这里以归纳结构的形式)也是有用的.

在数学的每一个领域里，你都能找到更具体的工具来证明存在. 例如，在分析中间值定理和不动点定理时，以及在线性代数(和其他领域)的维数时(一个含有比方程更多变量的齐次线性方程组必须有一个非平凡解).

我们已经遇到了一种特殊的存在证明：反例反驳. 这是一个通过展示一个对象来证明存在的例子：“对于所有”的否定是“存在一个，其中为假”，这可以通过展示一个来证明，对于这个，是假的.

在反驳费马数都是素数的猜想时，欧拉两次使用了“通过展示证明存在”的原则：他展示了非素数的费马数；为了证明这一点，他展示了的非平凡因子. 因此，存在的第二个证明是嵌套在第一个.

不存在与不可能的证明

证明某事不存在或不可能是一种迷人的问题，同时可能相当困难. 下面是一些这样的例子：

要把平面上的五个点成对连接起来，使连接线不相交是不可能的.

的幂不能表示为梯形数.

在可接受的时间内，没有计算大整数质因数分解的算法.

对于所有自然数，方程对于没有解.

前两个例子是题和题. 第三个例子需要做得更精确，例如：在当前的计算机硬件上，没有算法可以在年内计算任意位数字(在十进制系统中)的质因数. 这可以理解为一个关于已知算法的陈述，这样理解是正确的. 然而，这样的算法是否根本不存在是一个困难的、尚未解决的问题：到目前为止还没有人发现这样的算法，但也没有人能够证明它不存在. 有关这个问题的实际意义，请参阅第节末尾.

第四个例子是著名的费马问题. 早在年，费马就声称不可能找到解决办法，但这在年才得到证实.

另外两个著名的例子是，仅用尺子和圆规就不可能把任意角度分成三等分，以及哥德尔的不完全性定理，该定理说，用数学方法证明数学没有矛盾是不可能的. 有关解释和参考资料，请参阅.

这是一个经典的不存在命题.

定理：是无理数.

分析：让我们先看看这是一个不存在的陈述：这个命题是是无理数，也就是说，没有自然数满足.

我们怎么证明呢？我们可以试着用产生矛盾来证明：我们假设存在这样的，然后我们试着从中推导出越来越多的结果，直到我们得到一个矛盾.

假设，. 我们可以用这个方程做什么？我们能化简一下吗？

有两个复杂的问题：分数和平方根. 所以我们乘以来消去分数然后通过两边平方消去根：.

我们如何继续，我们能从中得出什么结论？

方程意味着是偶数. 那么也必须是偶数(参见下面的完整证明). 我们用来表示某个自然数.

平方得到. 把这个代入得到. 现在我们可以除以2，得到.

和前面一样，必须是偶数. 所以必须是偶数，所以我们可以消去原来分数中的因子2.

但如果我们从分数开始

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Exploring Mathematics

Abstract: In the course of a mathematical investigation you make observations, discover patterns, have insights, make conjectures. In order to be sure that a conjecture is true you need a proof. How to find a proof is quite a different matter. Experience will help, and it is useful to have a good command of problem-solving strategies, and to know the main types and patterns of proofs.

The general types of proof are direct proof, indirect proof, and proof by contradiction. Proof patterns are more specific to context. In the second section of this chapter you will learn about the general types of proofs and about some patterns which are common in proofs of formulas, proofs of existence, and proofs of

non-existence or impossibility. Of course, there are no limits to your creativity in finding your own ways of proving.

Keywords: proof; Proof by contradiction; Direct proof; Indirect proof

A proof is a logically complete justification of a proposition. As long as we have not proven a proposition it is possible that it is false – even if it is supported by many examples.

Example: In the year investigated the numbers . He noticed that 、、、and are prime numbers. For example:

，

，

.

Therefore, he conjectured that is prime for all .

It was almost years until Euler discovered, in , that is not prime: it is divisible by . Today the numbers are called numbers.

This shows that examples can be quite misleading. So, we need a proof if we want to be sure that a proposition is true.

In addition, a proof can give you a deeper understanding of a fact. A good example is the second/third proof of the formula in Section .

General types of proofs

Often, we want to prove propositions of the form . For this we can proceed in different ways.

Direct proof

The proof is composed of steps whose validity is obvious or which have been proved before: instead of proving directly, we prove .

Indirect proof

We suppose that the conclusion is false and deduce from this that the premise must also be false. So instead of we prove , which is logically equivalent. Of course, the latter proof can be composed of several steps.

Proof by contradiction

A proof by contradiction is very similar to an indirect proof. We suppose that is true and is false and derive a contradiction (a false statement) from this. So, we prove and . Since true propositions can imply only true propositions, it follows that lsquo; and rsquo; is false. This is logically equivalent to .

Sometimes there is no premise: We want to prove a proposition . Then a direct proof concludes from known propositions, and a proof by contradiction derives a false statement from . Here are two more general types of proofs.

Refutation by counterexample

In order to refute a lsquo;for allrsquo; proposition (i. e. in order to prove that it is false) it suffices to give one counterexample.

Mathematical induction

This can often be used to prove propositions of the form lsquo;For all . . .rsquo;. See Chapter 3.

We have already seen a refutation by counterexample: the proposition lsquo;for all ： is a prime numberrsquo; about the numbers was disproved by showing that is not a prime.

Remark: In a proof you can use propositions which have been proved before or which are considered to be known in a given context. In a strictly axiomatic build-up of mathematics, which you learn when you study mathematics at university, you are only allowed to use axioms, or propositions which have been proved from the axioms beforehand. This assures you that all proven propositions are true – assuming only that the axioms are true. You have to begin somewhere and proceeding in this way allows you to make this lsquo;basersquo; very small.

Here is a simple example of a direct proof.

Theorem: The sum of two even numbers is even.

We first reformulate this to show clearly the premise and the conclusion:

Claim:

Let be even numbers. (premise)

Then is even. (conclusion)

Proof: Since are even, there are so that and (this is the definition of lsquo;evenrsquo;). Then . We have . Therefore, is also of the form with and hence an even number.

Proof analysis: This was a direct proof. We first applied the definition of lsquo;evenrsquo;. Then there was one intermediate step: the calculation of using the distributive law. Then we applied the definition again.

We now consider some common types of propositions and the proof patterns which are typical for them.

Proofs of formulas

Formulas express general relations between numbers or other mathematical objects. In previous chapters you have already encountered many formulas, for example or counting formulas.

Sometimes you conjecture a formula when investigating a problem (for example in Problem 1. 3). Then you need to prove it in general.

Typical proof patterns for formulas:

Direct derivation by combining known formulas

Mathematical induction (see Chapter 3)

Counting in two ways (see Chapter 5)

When penetrating deeper into mathematics you will get to know many more ways to derive or prove formulas. One of them is the solution of the recursion in Chapter 2.

The point of view of modern mathematics is that formulas are usually expressions of deep relationships between structures (for example geometric objects, algebraic structures etc.). An example of this is

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