自内射维数有限的代数外文翻译资料

 2022-11-19 03:11

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自内射维数有限的代数

MITSUO HOSHINO

(Communicated by Maurice Auslander)

摘要:设A是一个artin代数,则A有双边有限内射维数当且仅当每一个有限生成的左A-模有有限的Gorenstein维数。

二十年前,Auslander和Bridger证明了可交换诺特局部环是Gorenstein环当且仅当每个有限生成A-模有有限Gorenstein维数。本文我们将推广他们的结论并将结果运用于Artin代数。我们将要证明如下内容:

定理:设A是一个artin代数,则当且仅当每个有限生成的左A模块具有有限的Gorenstein维数。

接下来,我们先处理左和右诺特环A。我们把两个A-双函子都表示为。我们认为右A-模是左A-模,这里A代表与A相反的环,并且左A-模的各种标记也应用于左A-模。我们用modA表示所有有限生成左模范畴。对于,当在中关于投射模有一个正合序列,则称模为第n个合冲。设是模中所有第n个合冲的类,并且为了方便起见,令(即我们认为每个模都是他自身的第零个合冲).同时,当对有,此时模称为有至少n级的约化度,写作约化度。注意所有模约化度最后,若模是自反的且约化度约化度,则称模有零维Gorenstein维数,写作。然后,对若在中有一个正合序列且对均有,则称至少有维Gorenstein维数。注意到表明对都有.(详见Auslander和Bridger)

定理证明

我们将定理证明划分为几步。

引理1:设有无穷约化度,且,则

证明:见Auslander和Bridger,p.95.

引理2:设是中关于投射模的一个正合序列,令,则是自反的当且仅当约化度.

证明:见Auslander,命题 6.3。

引理3:设约化度。设是

中关于投射模的一个正合序列,则约化度.

证明:在中关于投射模有正合序列.

故是自反的,若用,则诱导序列是正合的,这就表明约化度.

引理4:对任何,如下命题等价:

(1)每个约化度的都是自反的;

(2)每个约化度的都有无穷约化度。

证明::设约化度.设是中关于投射模的一个正合序列。

令及.则由引理3,约化度且是自反的。因此由引理2,且我们得到约化度。现在把这个结论应用到的合冲,我们得出有无穷约化度。

:设约化度,设是中关于投射模的一个正合序列。令 及 ,注意到是的第个合冲。因此由引理3,约化度,我们由引理2得出约化度,且是自反的。

引理5:对任何,如下命题等价:

(1)且每个有无穷约化度的是自反的;

(2)对所有,有.

证明::设,则约化度且是自反的。设是中关于投射模的一个正合序列。令。注意到是的第个合冲。因此由引理3、引理4,约化度,我们得到约化度,因此.

:第一个断言是显然的。因此对所有有,后一个断言来自引理1.

引理6:假设,对所有有无穷约化度的,有.

证明:设有无穷约化度。因此对所有的,意味着约化度。最后由引理4,表示是自反的。

引理7:假设,则对所有有有限投射维数的,都有.

证明:注意到对于正合序列,我们有,于是对用归纳法,断言可以得到证明。

引理8:设是自反的且约化度,若,则是投射模。

证明:在中关于投射模有正合序列,因此意味着是分裂的,于是断言得证。

引理9:设,假设对所有均有,则对任何,如下命题等价:

(1) .

(2) .

(3) .

(4) .

证明:由引理5我们得到.因此由引理7可得.

剩下的只要证明:假设,设是的第个合冲,则。因此,由引理8可得,是投射模,即.

引理10:假设有某个是左A-模的投射模上生成子。假设,则如下命题等价:

(1) ;

(2) 每个有无穷约化度的 是自反的;

(3) 对所有由有限投射模维数的,都有。

证明:由引理4可得,由引理5和9可得.

下证:设是中关于投射模的一个正合序列。对,令。注意到,因此对所有都有.因此,这意味着。现在这个断言和Cartan and Eilenberg(第六章,命题5.3)一致。

定理证明

充分性:对某个,使得对所有单模均有,。则。因此,由引理1和10有,且由Zaks(引理A),可得.

必要性:假设,则由引理6,对所有,均有.

参考文献

1. M. Auslander, Coherent Junctors, Proc. Conf. Cat. Algebra, Springer, Berlin, 1966, pp.

189-231.

2. M. Auslander and M. Bridger, Stable module theory, Mem. Amer Math. Soc., no. 94, Amer.

Math. Soc., Providence, RI, 1969.

3. H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press, Princeton, 1956.

4. A. Zaks, Injective dimension oJsemiprimary rings, J. Algebra 13 (1969), 73-86.

INSTITUTE OF MATHEMATICS, UNIVERSITY OF TSUKUBA, IBARAKI 305, JAPAN

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