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Applied Mathematics Letters 61 (2016) 108–113
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Applied Mathematics Letters
在多维时间分扩散方程中逆空间相关源项的唯一性
Ting Weilowast;, Liangliang Sun, Yushan Li
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou 730030, PR China
摘要
本文致力于从边界测量数据中确定多维时间分数扩散方程等式中的空间依赖源项，用拉普拉斯变换法证明了逆源问题的唯一性。
1.介绍
用时间分数导数代替标准时间导数, 推导出时间分数扩散方程，并且该方程可用于描述超分散和细分现象[1-3]，近年来, 对时间分数扩散方程的直接问题进行了广泛的研究[4,5]，然而，分数阶差分方程的逆问题还没有被广泛研究。在唯一性结果方面，Cheng 等人为了确定分数导数的阶数和时间分数扩散方程中的散度系数，得出了唯一性结果，坂本和山本在[5]中对于几个逆问题中建立了一些唯一性结果，山本等人在[7]中，提供了一个条件稳定性来确定半阶分数扩散方程中的零阶系数。
在本文中，我们考虑了一般有界区域中多维时间分数扩散方程逆空间相关源问题的唯一性。
令是中具有足够光滑边界的有界域。 考虑下面的时间分数差分方程
（1.1）
其中的表示alpha;阶相对于t的Caputo分数左导数
其中是伽玛函数，是固定时间或
假设未知函数满足以下初始和边界值条件
， （1.2）
（1.3）
其中n是Omega;区域外的单位法向量
如果适当地给出所有函数，则问题是一个直接问题，这里的逆问题是根据问题和附加数据来确定源项
（1.4）
其中是的非空开放部分
对于的一维情况， 张和许在文献[8]中，已经证明了通过使用Cauchy数据在一端重构与空间有关的源函数的唯一性结果，并提供了一种获得稳定近似的数值方法。对于二维情况，李和郭在[9]给了一个时唯一性结果与位于方形域的角上的处的附加数据。
然而，因为具有上述论文中的证明不能直接用于的问题，而且，对于仅使用一个点的测量数据的不规则解域，唯一性并不适用，因为齐次Neumann边界条件的运算符-Delta;的特征值可能并不简单。
在本文中，我们关注一个通用领域的多维问题，在部分边界上由测量数据确定空间相关源项的唯一性是给出的。
2.逆源问题的唯一性
定义齐次Neumann边界条件下的特征值为，相应的本征函数为，这意味着我们有,由于是对称一致椭圆因子，根据多重性计算，我们可以设置：和是中的一个标准正交基。 定义希尔伯特尺度空间
， （2.1）
其中是中的内积，并定义它的范数
， （2.2）
如果是有限的，则在上设置是绝对连续函数的空间，基于[5]中的方法，我们可以得到一个强解，如这样，在条件为时由下面的公式给出， （2.3）
这里，见[10].如果，则在,条件下，能够证明表达式是在条件下，使得的问题的一个弱解。
的唯一解。
定理2.1假定和,其中,满足其中。假设和都是在下(1.1)–(1.3)的弱解，它们具有相同的初始条件和源项，但有不同的源f和，那么相对应的，在应用,
证明.通过给出解，而且
， （2.4）
就规律而言，我们知道
注意到，我们得出，通过递归，我们可以证明
任意给定。因此，通过[11]和Cauchy–Schwarz不等式，对于和，可以得出
由于，那么对于我们可以得出，其中如果我们选择, 即,，那么最后一项的第一系列收敛。结合，其中，我们得出均匀收敛于，因此它在上是连续的。
类似，我们得出
/
, (2.5)
在条件下。因此（2.3）中的第二项业均匀地收敛于，通过[10]中的例2.14，我们知道（2.3）中的u在是连续的。对于，，，也是如此。
对于，由条件给出
(2.6)
令，其中，并设定是核的正交基，现在我们考虑作为集合，而不是具有多重性的序列，那么我们可以重写（2.6）为
(2.7)
其中注意
此外，对于满足的固定值z，在是可积的，由Lebesgue收敛定理，我们可以对（2.7）进行拉普拉斯变换，通过拉普拉斯的卷积公式转化和
（参考[11]），我们得出
(2.8)
其中是函数的拉普拉斯变换，注意到，当我们得出
这意味着
(2.9)
其中。如
从（2.5）可以看出，上述序列在是内部封闭地一致性收敛，使用维尔斯特拉斯定理，（2.9）的两边在都是解析。因此，可以继续继续解析eta;使得（2.9）对于成立。
我们可以选择一个合适的磁盘，其中只包含，不包括，由柯西积分定理，沿磁盘整合（2.9），我们得到
由于在,并且,椭圆方程Cauchy问题的唯一性（例如，见Isakov [13]第58页的定理3.3.1）意味着在中每个的= 0，结合在Ω中的线性独立性，我们得到， ,。因此，
的唯一性。
定理2.2设定，，其中，假定u(x, t)和是对于的弱解，二者在分别在源f和f下有相同的初始条件，相应的，在条件下，，这意味着在中。
证明.对于的情况，条件,意味着
. (2.10)
因为和在时解析，从（2.5）中，我们知道（2.10）中的两个系列也均匀地收敛于。根据Weierstrass定理，（2.10）的两边在时解析，使用解析延拓定理，我们知道（2.10）也适用于所有，其余的程序与定理2.1的证明完全相似。，这里我们省略它。
备注1.如果具有齐次Neumann边界的 - △的特征值是简单的，即并且存在一个点使得对于所有成立，则在时，意味着中的。此外，如果此外，如果，则意味着中的，这与[8]中一维情况下的结果和[9]中二维情况下的结果一致。
致谢
这项工作得到了中国国家科学基金会（11371181）和中央大学基础研究基金（lzujbky-2013-k02）的支持。
参考文献
[1] B. Berkowitz, H. Scher, S. Silliman, Anomalous transport in laboratory-scale, heterogeneous porous media, Water Resour. Res. 36 (2000) 149–158.
[2] R. Metzler, J. Klafter, Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: From the langevin equation to fractional diffusion, Phys. Rev. E 61 (2000) 6308–6311.
[3] I. Sokolov, J. Klafter, From diffusion to anomalous diffusion: A century after Einsteinrsquo;s brownian motion, Chaos 15 (2)(2005) 1–7.
[4] Y. Luchko, Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 14(1) (2011) 110–124.
[5] K. Sakamoto, M. Yamamoto, Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382 (1) (2011) 426–447.
[6] J. Cheng, J. Nakagawa, M. Yamamoto, T. Yamazaki, Uniqueness in an inverse problem for a one-dimensional fractional diffusion equation, Inverse Problems 25 (11) (2009) 115002.
[7] M. Yamamoto, Y. Zhang, Conditional stability in determining a zeroth-order coefficient in a half-order fractional diffusion equation by a carleman estimate, Inverse Problems 28 (10) (2012) 105010.
[8] Y. Zhang, X. Xu, Inverse source problem for a fractional diffusion equation, Inverse Problems 27 (3) (2011) 035010.
[9] J. Li, B. Guo, Parameter identification in fractional differential equations, Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed. 33 (3) (2013) 855–864.
[10] T. Wei, X.L. Li, Y.S. Li, An inverse time-dependent source problem for a time-fractional diffusion equation, Inverse Probl.(2016) in press.
[11] A. Kilbas, H. Srivastava, J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Vol. 204, Elsevier, 2006.
[12] R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y., 1953.
[13] V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, in: Applied Mathematical Sciences, vol. 127, Springer-Verlag, New York, 2006.
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