将日常练习转化为教学探究的活动:实用指南外文翻译资料

将日常练习转化为教学探究的活动:实用指南

作者：苏珊娜·英格里德·多利

国籍：美国

出处：《PRIMUS》

中文译文：

摘要：我们如何教授探究类型的题目?在这篇文章中，我提供了一些实用的技巧来有效地教学探究活动，这些活动是在常规教科书练习的基础上，以最少的预先准备来构建的，包括将练习重新编排为问题，创建激发学生进行猜想的活动，以及为合理但错误的猜想寻找反例。

关键词:主动学习;猜想;反例

1、介绍

“接下来会发生什么?”“它总是有效吗?”“有多少个?”“为什么会这样?”“我们试试这个怎么样?”问问题、查例子、做猜想、构造反例，这些都是数学家的工具，也是我们学生学习的重要技能。MAA最新的课程指南也同意这一观点，呼吁我们“包括旨在促进学生学习进步的活动”。评估解的正确性，创造和探索例子，进行数学实验，设计和测试猜想，“以”学生应该发展数学独立性和体验开放式的探究为目标。“作为数学帝国主义者，我们在探究的技巧和艺术方面受过良好的训练。我们如何帮助学生发展同样的探究技能，激发他们对数学的好奇心?

在这篇文章中，我分享了一些我在课堂上使用过的实用策略，你可以用这些策略把课本上的常规练习——计算程序的流畅性和基本的概念理解转化为教学探究的活动。无论您是在教授基于探究的学习课程[1]，还是希望将探究包含在更传统的教学课程中，这些策略都是合适的。如果教学探究对你来说是新的，我希望这些策略能给你一些开始的工具。如果你有教授探究性课程的经验，我希望这些熟悉的策略能激励你为你的学生创造更强大的体验。

2. 策略:把问题重新表述

打开任何一本教科书，浏览其中的练习列表。有多少次考试被陈述为问题?是吗?教学生提问的一个步骤是把日常课本练习重新表述为课堂上可以分组进行的问题。这种非常简单的转变可以把例行的程序练习转化为激发学生兴趣的问题，加深他们的概念理解，鼓励学生连接多个视角，并激发学生提出自己的问题。

现在我们考虑一下这个来自大学代数的常规练习:

• 解方程x² 3x 1 = 0

我们可以把这个练习转换成一个基于提问的活动。例如，我们可以问学生以下问题:

• 什么时候x² 3x 1 = 0?
• X取什么值时有x² 3x 1 = 0?
• x² 3x 1能等于零吗?

学生需要使用相同的技巧(二次公式)来回答这些问题，就像他们在最初的练习中使用的一样，努力解释问题，而不是对练习的强制形式作出反应，将导致更深层次的概念理解。在本例中，问题格式加强了“解决”和“解答”的核心概念。

我们可以通过构建更复杂的问题来鼓励学生使用多种视角:

●y = x² 3x 1与x轴相交于哪里?

●x² 3x 1的最小值是多少?

学生们经常用图解的方法来解决第一个问题，把解方程作为一种检验。他们经常用数值的方法来解决第二个问题，再次把解方程作为一种检验。

我们可以将这种方法进一步扩展到更开放、数学上更复杂的问题。例如，我们可以用下面的问题继续探索二次函数:

●为什么x² 3x 1 = 0解不为正?

●x² 3x 1= 0是否只有一个解?

●x² 3x 1= s什么时候只有一个解?

这些问题经常在课堂上引起热烈的讨论，因为它们需要更多的思考，而不仅仅是应用二次公式来寻找一个数值答案。

我们可以将这一策略应用到任何数学课程的常规教科书练习中。你怎样把下面的练习重新表述为问题呢?你能同时创建简单和开放的版本吗?

• 对于f (x) = xe^-x，计算f(0)和ftimes;(0)。
• 从Z6到Z3times;Z2构造一个(环)同构。
• 求具有过渡矩阵的马尔可夫链稳态向量:

有助于提出数学问题的技术出现在[3]和[7]中。

3.策略:添加鼓舞人心的模式识别示例(并询问猜想)

测试示例、寻找模式和猜测是探究的核心。有几种方法我们可以建立从日常教科书练习推测活动。让我们从如何教学生写证明开始。

有多少次，我们要求学生证明某件事，结果却发现他们还不理解这句话，更不用说相信它是真的了?无论你是教学生如何开发正式证明技术,教学课程,证明是一个常规作业的一部分,或只是希望学生证明非正式地断言,一个inquiry-friendly选择是要求学生尝试例子和开始猜想之前写证明。通过例子练习确保学生理解他们在证明中需要的关键定义。另一个好处是，学生们有动力去证明他们自己提出的猜想。

考虑到这个求和事实，我们可能会要求学生在离散数学课程中使用数学归纳法来证明:

• 证明1 3 5 7 hellip; (2n 1) = n²。

我们可以把这个练习变成一个探究性的活动，让学生在证明之前尝试一些例子并做一个猜想:

• 对n的小数值求值，以便推测:1 3 5 7 hellip; (2n 1) = 。
• 画一幅画来说明这个图案。
• 用数学归纳法验证你的猜想。

我经常要求学生在证明前几天做猜想活动，部分是为了激发证明的需要。

我们也可以用猜想把一个计算练习变成一个探究式的活动，让学生在做完例题后进行猜想。考虑以下线性代数的练习:

• 求各矩阵的逆矩阵:

A= B=

我们可以添加后续问题，让学生做出猜测。

●回头看看你对A^-1的答案，做一个关于

的逆矩阵对于任意实数k的猜想。当k = 0时会发生什么?你如何修正你对矩阵

的猜想?利用逆的定义来验证你的猜想，并通过考虑R²上相应的线性变换给出答案的几何解释。

注意到B^-1有什么变化?利用R²上相应的线性变换来解释为什么你的答案是有意义的，并用这个性质来构造其他2times;2矩阵。注意det (B)=-1。假设2times;2矩阵C的det(C)=- 1和C^-1= C。

我发现学生们对中心概念有了更深的理解

相反，当被问及这些后续问题时。在课堂上以小组活动的形式引入这些问题，可以让学生在老师的帮助下，对这些开放式的问题感到舒适。还要注意这些问题是如何要求学生把不同的观点联系起来的——代数和几何——这是一个重要的问题解决技巧。

另一种选择是完全通过猜测活动来代替计算。例如，在介绍图论的课程中，考虑下面的日常练习:

●考虑一下在最右下方绘制的W₅轮图，它由5个循环加上循环中每个顶点相邻的一个中心顶点组成:

◦计算W₅的顶点数量。

◦计算W₅的棱数。

◦计算W₅中顶点的角度。

◦查找W₅的色数。

◦编写W₅的邻接矩阵。

下面是一个基于探究性的修正，它使用的是猜想:

●考虑nge;3时的车轮图形W_n。前几个例子是W₃、W₄和W₅如下图所示。

●W_n有多少个顶点?

●W_n有多少条边?

●关于W_n中顶点的度数，您注意到了什么?

●猜测W_n的色数。

●描述W_n的邻接矩阵。

●您如何向熟悉循环图C_n的人解释这些图?写一个正式的定义。

和原版一样，这个活动允许学生用具体的例子来练习，以确保他们理解词汇。学生们喜欢尝试概括他们所看到的东西的挑战，而且往往很难表达他们的答案。例如，中心顶点的度数与外围顶点的度数不同。此外，当计算色数(图中顶点着色所需的最小颜色数，使相邻的顶点颜色不同)时，他们很快就意识到这个值取决于n是偶数还是奇数。因此，这个例子的另一个好处是，它促使学生考虑案例，这是另一个重要的解决问题的技能。

4. 策略:询问反例

对我来说，教授猜想的部分乐趣在于，当猜想是可理解的，但不是真实的时候。其中一个著名的猜想是n2 n 41对于所有正整数n都是质数，它适用于n的许多小值，但最终失败于[8]。检验猜想，寻找反例是探究过程中的一个重要步骤。有几种方法可以结合学生的经验来构建反例。例如，我经常在考试前一天使用反例作为复习。

在复习日，我给学生一张错误陈述的清单，并要求他们为每一个建立一个反例。下面是我在一门介绍学生证明离散数学的课程中使用的一些错误陈述:

●forall;b, cisin;Z如果bc是偶数,则b和c都是偶数。

●forall;m, n isin; Z gcd(2m, n) = 2 gcd(m, n)

其中gcd表示最大公约数。

●如果函数f: D→C是一一对应的，并且Dne;C，那么f也不能映上。

●forall;x, yisin;R如果x lt; y,那么[x] lt; [y]

其中[]表示层(最大整数)函数。

●(简单)图的边不能多于顶点。

一开始，学生们对考试前收到的一份虚假陈述清单感到惊讶。毕竟，他们可能希望得到一份真实情况的清单。当学生开始构建反例时，他们意识到这个活动迫使他们记住术语、技术和关键概念，并帮助他们识别他们所知道的，这样他们就可以把学习重点放在他们还不知道的部分。构建反例的一个关键是理解语句的否定逻辑。无论本课程是否明确讲授符号逻辑，为学生提供反复思考否定的机会，也培养了学生的逻辑推理能力，是证明写作的重要基础。

构建反例的一种变体要求学生更进一步，将错误语句修改为正确语句，这种方法称为“反例和纠正”。具有多种相关性的陈述对教学探究特别有用。有些学生自然会在没有提示的情况下说出可能的更正，但其他人需要帮助。一个有效的方法，被称为“如果不是呢?”，”在[2]中详细描述。这个想法是教学生提出“如果没有呢?”这样的问题，作为一种生成更正的技术。下面是一个例子，说明这种技术在实践中是如何工作的。考虑以下错误陈述:

● forall;m, nisin;Z ，gcd(2m, n) = 2 gcd(m, n).

问“如果它们不相等怎么办?”“导致下列更正:

●forall;m, nisin;Z，gcd(2 m, n)le;2gcd(m, n)。

●forall;m, nisin;Z，gcd(2 m, n)是2的除数gcd(m, n)。

问“如果不只是m呢?”或者“如果不是为了所有人怎么办?”“导致更多的纠正:

●forall;m,nisin;Zgcd(2m,2n)=2gcd(m,n)。

●exist;m,nisin;Zgcd(2m,n)=2gcd(m,n)。进一步修正可能集中于m和n的具体值:

●forall;m,nisin;Z如果n是偶数和m是奇数,然后gcd(2m,n)=2gcd(m,n)。

一个更强的版本会在m和n的素数化中考虑2的最高幂，甚至用任意素数替换2。这种建立反例、提出各种纠正并寻找最强大的可能猜想的策略称为“反例、正确和猜想”。

另一种选择是让学生建立一个反例，但不是纠正陈述，而是提出一个新的问题。例如，考虑下面的错误陈述:

●(简单)图的边不能多于顶点。

前面的车轮图是一个很好的反例。这里有两个有趣的问题要问:

●一个有n个顶点的(简单)图最多能有多少条边?

●一个有n个顶点的(简单)图，其边的最小数目是多少?这些问题引出了自然的猜想:

●如果一个简单的图有n个顶点和m条边，那么mle;n(n-1)/2。

●如果一个简单的图有n个顶点和m条边，并且是连通的，那么mge;n-1。

5. 探究与主动学习

本文的策略强调了作为一名教师，你可以采取的提高课堂探究水平的行动:提出更多的问题;激发更多的猜想;并要求更多的反例。最终，我们的目标是让学生问自己:让他们提出问题;让他们受到启发去猜想;并为他们提供充分的证据或反例。以我的经验，教师提供的活动是重要的第一步。例如，在过去的15年里，我一直在使用这些技术教授一门二年级的离散数学课程。除了增加学生接触过程中,我和我的同事有了显著增加学生继续提问,让猜想,和测试猜想他们继续在更高级的课程,而且我们相信我们的学生更感兴趣和更好的准备先进的调查,包括本科的研究。我们之前对这些策略的讨论包括参考一些古典资料，这些资源可以帮助您作为讲师提出问题。下一步是教学生这些提出问题的技巧，例如教学生提问的开始者，这也被称为问题茎。我在抽象代数中使用过多次的一个例子出现在[5]中，其中包括一组面向数学的问题启动器，其灵感来自于[2]

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Turning Routine Exercises Into Activities that Teach Inquiry: A Practical Guide

Suzanne Ingrid Doreacute;e

Abstract: How can we teach inquiry? In this paper, I offer practical techniques for teaching inquiry effectively using activities built from routine textbook exercises with minimal advanced preparation, including rephrasing exercises as questions, creating activities that inspire students to make conjectures, and asking for counterexamples to reasonable, but false, conjectures.

Keywords: Active learning, conjecture, counterexample, discrete mathematics, inquiry, inquiry-based learning, proof, questions.

1. INTRODUCTION

What happens next? Does it always work? How many are there? Why does it work? What if we tried this instead? Asking questions, checking examples, making conjectures, and constructing counterexamples are part of any math- ematicianrsquo;s toolkit and important skills for our students to learn. The most recent curriculum guide from the MAA agrees, calling us to “include activities designed to promote studentrsquo;s progress in learning to ... assess the correctness of solutions, create and explore examples, carry out mathematical experiments, and devise and test conjectures” with the goal that “students should develop mathematical independence and experience open-ended inquiry.”[4] As math- ematicians we are well-trained in the skill and art of inquiry. How do we help students develop these same inquiry skills and ignite their curiosity about mathematics?

In this paper I share some practical strategies I have used in many of my classes that you can use to transform routine textbook exercises empha- sizing procedural fluency and basic conceptual understanding into activities that teach inquiry. These strategies are appropriate whether you are teaching an inquiry-based learning course [1] or are looking to include inquiry in a more- traditionally-taught course. If teaching inquiry is new to you, I hope that these strategies will give you some tools to get started. If you have experience teach- ing inquiry-based courses, I hope these familiar strategies will inspire you to create even more powerful experiences for your students.

2. STRATEGY: REPHRASE AS QUESTIONS

Open any textbook to a list of exercises and scan the page. How many exer- cises are stated as questions? Are any? One step in teaching students to ask questions is to rephrase routine textbook exercises as questions that can be worked on in groups during class. This remarkably simple-to-implement shift can transform routine procedural exercises into questions that spark studentsrsquo; interest, deepen their conceptual understanding, encourage students to connect multiple perspectives, and inspire students to ask their own questions.

Consider this routine exercise from college algebra:

● Solve x² 3x 1 = 0.

We can turn this exercise into an inquiry-based activity by rephrasing it as a question. For example, we can ask students these questions instead:

● When is x² 3x 1 = 0?

● For what numbers x is x2 3x 1 = 0?

● Can x² 3x 1 ever equal zero?

Students need to use the same technique (the quadratic formula) to answer these questions as they would use for the original exercise. Struggling to interpret the question, as opposed to responding to the imperative form of the exercise, leads to deeper conceptual understanding. In this example, the question format reinforces the core concepts of “solve” and “solution.”

We can encourage students to use multiple perspectives by constructing more sophisticated questions:

● Where does y = x² 3x 1 cross the x-axis?

● What is the smallest value x² 3x 1 can be?

Students often approach the first question graphically, solving the equation as a check. They often approach the second question numerically, again solving the equation as a check.

We can extend this approach further to more open-ended, mathematically sophisticated questions. For example, we can continue to explore quadratic functions using the following questions:

● Why can no solution to x² 3x 1 = 0 be positive?

● Could x² bx 1 = 0 have exactly one solution?

● When does x² 3x 1 = s have exactly one solution?

These questions often generate lively classroom discussion, as they require more thought than just applying the quadratic formula to find a numerical answer.

We can apply this strategy to routine textbook exercises from any mathe- matics course. How might you rephrase the following exercises as questions? Can you create both simple and more open-ended versions?

● For f (x) = xe^minus;x, calculate f (0) and f times;(0).

● Construct a (ring) isomorphism from Z₆ to Z₃ times; Z₂.

● Find the steady state vector of the Markov chain with transition matrix:

Helpful techniques for posing mathematical questions appear in [3] and [7].

3. STRATEGY: ADD EXAMPLES INSPIRING PATTERN RECOGNITION (AND ASK FOR CONJECTURES)

Testing examples, looking for patterns, and making conjectures are the core of inquiry. There are several ways we can build conjecturing activities out of routine textbook exercises. Let us start by looking at how we teach students to write proofs.

How often do we ask students to prove something only to realize that they do not yet understand the statement, let alone believe it is true? Whether you are teaching students how to develop formal proof techniques, teaching a cours

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