微积分中值定理中间点的渐近性外文翻译资料

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A NOTE ON INTERPOLATION BY BLOCH FUNCTIONS

DANIEL PASCUAS

（Communicated by Juha M. Heinonen）

摘要：本文证明了B.Boslash;e和A. Nicolau中的布洛果的正部分是C. Sundberg对H^infin;插值序列的BMOA函数轨迹的描述。

布洛赫空间B由复平面的单位盘D中的所有解析函数组成，如

回想一下，知道z，wisin;D两点之间的双曲线距离是

其中是它们之间的伪双曲线距离。 事实证明，D中的解析函数属于B当且仅当它是从D到C的Lipschitz函数，且D具有双曲线度量，而C具有欧几里德度量。 则有

因此，如果对于满足Lipschitz条件的任意复数序列，存在使得对每个都有，似乎可以很自然地说D中的点序列是对B的插值。根据这个结果，B.Boslash;e和A. Nicolau在[1]中获得了这些序列非常好的几何表征。

定理A. D中的序列是B的插值，当且仅当它至多是两个分离序列的并集并且满足以下条件：

1. 存在常数0 lt;alpha;lt;1，使得

回想一下，如果,则D中的序列是分离的。符号通常表示A小于或等于常数倍B。其中常数与所涉及的变量无关（例如，在定理A的陈述中，z D和0lt;rlt;1)。

本文的目的是对定理A的充分性给出一个简单的证明，为了推动它，我们回顾一下Boslash;e和Nicolau对该结果的原始证明。定理A涉及两个条件：分离条件和条件（A）。最后一个是两者中最重要的。粗略地说。（A）是指序列中的点比分离序列中的点要稀疏得多，因为这样的序列满足条件（A）且 alpha;= 1。

分离的必要性与D中关于欧式度量的Lipschitz空间的解析函数空间所对应的事实几乎是一致的（参见 [2])。

证明条件（A）的必要性，它的根在N.Makarov^[3]的周期性工作。通过结合Nicolau^[4]

一个简单的再现公式和停止时间参数，证明了（A）。他们认为，这也是从次高斯的估计

中得出的。K. Seip在[5]中详细地证明了（A）的这一替代证明。

另一方面，Boslash;e和Nicolau的简单论证将定理A中充分性的证明简化为分离序列的情形。然后证明了条件（A）意味着B的插值问题可以通过B的子空间BMOA中的函数来求解。 这是定理A证明中最难的部分。 它分两步完成。 首先，构造插值问题的平滑非解析函数phi;，使得是Carleson度量。 然后，他们通过使用标准技术求解问题在BMOA中获得的插值函数。函数phi;是由平均程序从它的二元函数构造的，最初的来由见J. Garnett和P. Jones ^[6],并如作者说的那样，C. Sundberg也使用了它在[7]中证明了美丽定理。

定理B. 令是的一个插值序列，并令是一个复数序列。 则存在函数isin;BMOA，使得对每个jge;1都成立，当且仅当序列满足以下条件：

1. 存在恒定的和函数alpha;：D→C使得

回想一下，H^infin;= H^infin;（D）是D中有界解析函数的空间，如果对于每个复数序列的有界序列都有，使得对于任何都成立，则D中的序列是对H^infin;插值。经典定理 L.Carleson ^[8] 将这些序列刻画为分离的序列，并满足所谓的Carleson条件：

（C）

在本文的其余部分，我们将证明定理A的充分性（本质上）是定理B的一个简单推论。也就是说，我们会证明定理B意味着一个满足条件(A)的分离序列对B是插值的。实际上，插值是由BMOA中的函数执行的。

首先，我们获得条件(A)的一个等价形式，它更适合于条件(B)。

引理. 对于D中的一个序列，条件(A)等价于，如果存在常数0 lt;beta;lt;1 ，

使得

证明：令且,0 lt;r lt;1。

（A）rArr;：令beta;isin;R使得alpha;lt;beta;lt;1。则

并且在计算(A)的情况下，用按部进行的积分表示，如下

rArr; (A)：对于每个zisin;D和0 lt;r lt;1，我们都有

并且(A)满足alpha;=beta;。

现在假设是D满足条件中的一个分离序列，并且是一个复数序列，从而有

我们想要证明存在isin;BMOA，使得对每个jge;1成立。

首先注意隐含（C），所以是对H^infin; 插值。 因此，通过定理B，

我们只需检查序列和是否满足B即可。

关于Lipschitz函数（见[9], 202页）扩展的一个众所周知的结果确保了函数alpha;：D→C的存在并使得，对于每个jge;1成立。并且有

.

特别是

.

然后我们可以取lambda;gt; 0那么小使得

因此暗示蕴含（B),则完成证明。

References

1. Bjarte Boslash;e and Artur Nicolau, Interpolation by functions in the Bloch space, J. Anal. Math.94 (2004), 171–194. MR2124459 (2005k:30052)2. Eric P. Kronstadt, Interpolating sequences for functions satisfying a Lipschitz condition, PacificJ. Math. 63 (1976), no. 1, 169–177. MR0412431 (54:557)3. N. G. Makarov, Probability methods in the theory of conformal mappings, Algebra i Analiz1 (1989), no. 1, 3–59; translation in Leningrad Math. J. 1 (1990), no. 1, 1–56. MR1015333(90k:30008)4. Artur Nicolau, Radial behaviour of harmonic Bloch functions and their area function, IndianaUniv. Math. J. 48 (1999), no. 4, 1213–1236. MR1757073 (2001f:42033)5. Kristian Seip, Interpolation and sampling in spaces of analytic functions, University Lecture Series, vol. 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. MR2040080 (2005c:30038)6. John B. Garnett and Peter W. Jones, BMO from dyadic BMO, Pacific J. Math. 99 (1982),no. 2, 351–371. MR658065 (85d:42021)7. Carl Sundberg, Values of BMOA functions on interpolating sequences, Michigan Math. J. 31(1984), no. 1, 21–30. MR736465 (85j:46035)Departament de Matematica Aplicada i An ` alisi, Facultat de Matem ` atiques, Univer- `sitat de Barcelona, Gran Via 585, 08071 Barcelona, SpainE-mail address: daniel pascuas@ub.ed

8. Lennart Carleson, An interpolation problem for bounded analytic functions, Amer. J. Math.80 (1958), 921–930. MR0117349 (22:8129)

9. Herbert Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969. MR0257325 (41:1976)

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