多元函数的泰勒公式外文翻译资料

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西伯利亚的数学期刊,54卷,第3期,第573 - 566页,2013年

原始的俄文文本版权c 2013 Reshetnyak Yu.G。

多元函数的泰勒公式

Yu. G. Reshetnyak UDC 517.53

摘要: 在数学分析的基础课程中经常提到的一些技巧,用于构造积分形式的泰勒公式的其余部分。这些技巧就是基于这一事实, 区分不同

在这个函数中和他的阶为r-1的泰勒多项式关于t ，我们得到了，所以在r之后的哪些项都不存在了。作者曾经注意到多元函数也有相似之处。区分函数之间的不同和它是r-1阶泰勒多项式关于t组成的，我让这些规则也适应于r项。我们运用这一事实

来估计其余的多元函数的泰勒公式沿着可求长的曲线。

DOI: 10.1134/S0037446613030208

关键词：泰勒公式，可求长曲线，余数，类似的函数

我们用普遍的数学符号索引表示派生和力量。符号可以代表一个n维空间的多重指数，指数i是1其余部分都是0，这里是克罗内克尔记号。表示的一个连续的开邻域。

似乎下面的简单声明是第一次由作者提出[1]。(它在[1]并没有作为一个命题单独出现。)

引理 是中的一个开放的子集。定义 是一个函数。在中取两个任意的变量和。有

(1)

然后当.我们有

(2)

(3)

作者是部分支持的俄罗斯基础研究基金会(格兰特11-01-00819)和国家维护项目的主要科学学校俄罗斯联邦(格兰特NSh-921.2012.1)。

注 函数在关于的泰勒多项式。对于,众所周知,微分多项式对,我们获得一个表达式避免衍生品r的其他项。这引理显示的情况是类似的几个变量的函数。对读者的方便,让我们沿用书中的参数[1]。

证明 我们有

(4)

如果索引满足那么则如果且为n维的一个索引满足那么在这一情况下有

因此我们可以推断出（4）式右侧的第一个数等于

因此，

另外可以看出（2）显然成立。

为了证明（3），我们考虑

然后我们可以得到

因此,（3）式的右侧部分和（2）式的右侧部分是相一致的,(3)是确定的因为这些式子的左右两边是相等的。

定理 1 是中的一个开放的子集。定义 是函数其中所有的。定义一个可求长曲线两个端点是和。则有

（5）

（6）

（5）和（6）式的积分是斯蒂尔切斯积分。

证明： 首先考虑的参数化曲线满足下面的附加条件: 是处处连续的，几乎对所有的成立且是的长度。引用参数化曲线满足这个条件。对任意一个可改变的曲线有一个正常的参数化曲线例如，是一个连续不减少的函数且和。斯蒂尔吉斯积分有下面一个不变的性质：假设一个函数满足以上条件。假设两个函数和斯蒂尔吉斯积分是确定的，让和则积分是确定的且值相等。

通过以上结论,它可以证明这个定理的一个正常的参数化曲线eta;。

我们进行如下讨论，如果对所有的是标准的，我们有此处和以下部分是指的长度。

如果是标准的那么关于变量t的函数（假设）绝对连续,我们运用通常的法则可以计算出它的导数。我们有

（7）

运用（2），用替换。则有

因此，通过（7）有，

（8）

这样建立（5），为了证明（6），用（3）中的导数表示：

因此，

从而然后（6）是确定的。

注 这个要求曲线是可求长的条件是可以减弱的。考虑一个不减少的函数，当时和当时.这个定理好像说明了矢量函数当时满足条件。再假设,通过著名的斯蒂尔吉斯积分的结果分析从定理中陈述出来（从[2]中可以看出，[3,4]中作者也有提到）。

下面我们可以从定理中得到一些推论。

推论 1. 假设所有关于定理1的假设是成立的。那么 （9）

（10）

证明 ： 我们可以把[5]和[6]用定理1表示出来让 然后

（11）

这里

把[6]的代入到（11）中用来替换，我们就得到了[10].

为了得到[9],我们需要另一种表示。我们有

因此

（12）

把[5]式中的的值代入到[11]中用来替换，我们就得到了[9].

再次讨论中的一个域，函数是函数类，可求长曲线在中且和.代表着的长度。有

（13）

（14）

（15）

推论 2 如果函数和可求长曲线满足以上所有的条件，那么 （16）

（17）

证明： 斯蒂尔吉斯积分满足.单独在每一个式子中应用这个不等式有

我们得到了需要的不等式证明。

推论 3 如果函数和可求长曲线满足以上所有的条件，那么

(18)

(19)

证明： 因为斯蒂尔吉斯积分是单调变化中的不变量，假设矢量函数是绝对连续的，此外，其中.

考虑到（10）和（11），我们建立 . （20）

通过定义， 是在的变量. 是关于t的绝对连续函数，所以它在这段等于.我们有,其中

.

如果它的偏导数消失相同，因为在这种情况下函数独立于.假设，其中.我们有

这意味着如果那么估计非常适用于这种情况，观察到

,我们就得到。

推论 4 如果线段连接的两点和在域中，那么

(21)

(22)

证明 ：假设位于中，函数是满足这个定理的参数段.记.我们有,因此.函数在是单调的，它在线段的变化等于.

定理 2 如果函数和可求长曲线满足以上所有的条件，那么

(23)

其中是的长度且.

证明 ：为了简便起见，.一个n维空间多索引的表示这个函数是确定的通过，其中.

我们有（观察（5））

.

表达式右侧

, (24)

.

通过柯西不等式有

(25)

我们有.通过参数化的选择，对所有的t有.

这意味着

.

回想一下，,如果对一些那么关于的导数也会随着消失，所做的所有其中，如果，那么

.

让.那么满足对于时还有其中.最后，观察到.综上有

.

通过对求和，我们得到.

因此，.

观察.因此

.

最后，我们得到

（26）

这个结果结合（25），我们就得到了需要的结果。

推论 如果函数和可求长曲线满足以上所有的条件，那么, (27)

其中是的长度且.

证明 通过（6），

.

右侧的表达式

, (28)

其中在定理证明中有相同含义.我们推断应用要求的不等式和估计获得了定理的证明。

定理1通过可求长曲线表示对泰勒公式的部分作为一个整体的积分，我们认为其推论和定理2是类似中值定理中的泰勒公式。

用于某些辅助结果[5]包括另一个积分表示多元函数的泰勒公式的剩余部分,在哪里建立等式（用我们熟悉的符号来呈现）。用一个类函数和关于,结合[2]

我们得到

. (29)

式中的其余部分就是按我们得到结果重复迭代。

最后,作者感谢D. V. Isangulova彻底阅读了本文并在本文的初稿中指出了一个错误。

参考文献

1. Reshetnyak Yu. G., “Remark on the integral representation of differentiable functions of several variables,” Sibirsk. Mat.Zh., 25, No. 5, 198–200 (1984).

2. Kondurar V., “Sur llsquo;int′egrale de Stieltjes,” Mat. Sb., 44, No. 2, 361–366 (1937).

3. Reshetnyak Yu. G., “On parallel translation along an irregular curve in a principal bundle,” Siberian Math. J., 13,No. 5, 739–755 (1972).

4. Reshetnyak Yu. G., “The notion of lift of an irregular path in fiber bundles and its applications,” Siberian Math. J.,16, No. 3, 453–460 (1975).

5. Ciarlet Ph. G. and Mardare C., “Recovery of a manifold with boundary and its continuity as a function of its metrictensor,” J. Math. Pure Appl., 83, No. 7, 811–843 (2004).Yu. G. ReshetnyakSobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia.

Yu. G. Reshetnyak

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia

E-mail address: reshetnyak@math.nsc.ru

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