无穷维Riccati方程的相关定理外文翻译资料

 2022-11-19 03:11

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系统和控制快报 15(1990)153-159

无穷维Riccati方程的相关定理

Ruth F. Curtain

Unwerslty of Gromngen, Department of Mathemattcs, P 0 Box 800, 9700 A V Gromngen, The Netherlands

Leiba Rodman

Department of Mathemattcs, College of Wdham and Mary, Wdhamsburg~ VA 23187-8795, U S A

摘要:在无穷维Hilbert空间中,本文证明了代数Riccati方程的相关定理。这些定理推广了有限维情况下的已知结论。

关键词:无穷维系统,Riccati方程和不等式,指数稳定

1.引言和主要结果

首先,我们统一这篇文章里要用到的符号:设和是Hilbert空间,通过表示从到的所有有界线性算子空间,表示。如果,则表示X的伴随算子;X和Y是中的自伴算子,则表示是半正定,即。表示X是正定。

本文所考虑的是一个确定的代数Riccati方程。在这里,我们可以假设,,,,,R是正定且连续可逆,再设一个稠密的线性算子,考虑Riccati方程:

(1.1)

求自伴解。

A是无界的,所以(1.1)需要化简;它是下面的方程的化简:

(1.2)

对于所有的(A的定义域)。

本文中,假设A生成一个半群,即。是一个线性有界算子(对于),满足在上,对于任意,函数是连续的,,并且对于所有成立。

在二次评价的最优控制问题与偏微分方程或延迟方程所表示的线性系统相关联的部分,Riccati方程得到了学术界的广泛关注(见例1,3,11,4,12)。本文中,我们证明了(1.1)中自伴解的存在性定理,给出了以下不等式的一个自伴解:

(1.3)

对于所有(A的定义域)。

定理1.1:假设A在上生成一个半群,,而且是指数稳定的。如果存在不等式(1.3)一个自伴解,则(1.2)有一个自伴解,使,那么对于其他自伴解在(1.3)中恒成立。

我们记是指数稳定的,当且仅当存在一个和正常数M,N使得对于所有,有

如果(1.2)中存在自伴解,对于(1.2)中其他所有自伴解,均有,那么称X为最大值。如果这样一个最大解存在,则它显然是唯一的,我们用表示。定理1.1的一个引理即当不等式(1.3)有一个自伴解,那么(1.2)有唯一的最大解。

另一个结果是相关理论在两种不同的Riccati方程下的解,(1.2)和以下方程:

(1.4)

对于,,,,,和是自伴解且在生成一个半群。

定理1.2:假设和是指数稳定的,,且以下不等式恒成立:

(1.5)

如果(1.4)存在有界自伴解,则(1.2)和(1.4)的最大解分别存在且。

我们可以将不等式(1.5)化简为以下不等式

(1.6)

对于任意。

最后,我们证明两种特殊的相关理论。

定理1.3:假设在Riccati方程(1.2)和 (1.4)中 ,是指数稳定的,且:

(1.7)

如果(1.4)有一个有界自伴解,那么(1.2)和(1.4)的最大解分别存在且,。

定理1.4:如果是指数稳定的,且

(1.8)

那么(1.2)的最大解存在,且。

定理1.1将在第2节中得到证明,并将在第3节中导出相关定理。

定理1.1-1.4在有限维情况下是显然的(见[17,8,19,20]),它们在控制学文献中取得了非常广泛的应用。

我们所做的主要假设是指数稳定性,它也出现在标准代数Riccati方程(1.1)的存在性定理之中,其中C = 0(见例[3,1,4,12,21])。

在B具有有限秩充要条件的情况下,指数稳定性可在[8,13,6]中解得有界B,在[6,2]中解得无界B算子。这些结果表明A只有有限个不稳定特征值,它们制约了A的运算。虽然A谱上的条件对延迟系统和抛物型p.d.e(紧致域上的方程)保持不变,但它不适用于无阻尼波,束p.d.e方程或中性延迟方程。对于后一类A算子,指数稳定性的一个充分条件是(A,B)完全不可控([3],定理3.35),后一个性质的结果在[18,16]中讨论。

最后,A,B和C无界的情况对于应用来说是十分重要。这种情况下会出现额外的技术并发症,并将在另外的出版物中讨论。

2.定理1.1的证明

首先,我们证明以下引理。

引理2.1 :假设对于所有,,满足

(2.1)

如果A生成一个指数稳定的半群,那么.

证明:令,对于任意,那么

整合变量t得到:

因为当,,我们得到,对于所有。因为在中是稠密的,这个不等式可以扩充到所有。

定理1.1的证明采用迭代方法,已经成功运用于Riccatl方程的一些出版物中,似乎起源于[9]。 我们的迭代过程是模仿[17]中使用的方法。

因为是指数稳定的,则存在一个,使得

(2.2)

生成一个指数稳定的半群。

根据[15]中的定理1.10.4,是指数稳定的半群的生成元,而且对于所有的成立,所以我们可以通过用来定义:

(2.3)

显然,对于所有成立,因此是以下李雅普诺夫方程的唯一解:

(2.4)

(对于李雅普诺夫方程的结果见[5])令是(1.3)的一个解,这在定理1.1中假设存在的。那么对于任意恒有:

这里在(1.3)中定义,并且我们使用了(2.3),化简得到:

运用引理2.1,我们构建下面的运算符序列:

是中一个有界自伴算子的增加序列,使得任意。

是中生成指数稳定半群的密集定义的算子列,使得。

是中一系列线性有界算子。

假设,,已经建成,那么

(2.5a)

(2.5b)

(2.5c)

并且:

(2.6)

对于所有。

使用(2.5)和(2.6),我们建立:

首先,我们证明生成一个指数稳定的半群。从(2.5),我们得到:

(2.7)

当如(1.3)中定义,且。因为是的有界振动,所以生成了半群定理3.1.1 [15],并且令对于任意,并按照引理2.1那样进行处理,Tgt; 0:

根据,,我们得到:

(2.8)

对于所有,因为在是稠密的,那么(2.8)可以扩充到。下一步我们采用[21]中的一个已知的论点,并使用半群公式的摄动(参见[15]第3.1.2):

(2.9)

我们已知生成一个指数稳定的半群,则存在正常数和,使得:

(2.10)

根据(2.9)的估计运用(2.10),我们得到:

这意味着生成一个指数稳定的半群[5]。

接下来我们定义:

易证,是(2.6)的唯一解,且对于,下式恒成立:

从引理2.1可以看出,,所以是下面有界算子的一个非递增序列。从[10](定理3.3,第八章),强收敛到自伴随有界算子且,为证明满足Riccati方程(1.2),将(2.6)化成:

可以看出,当时,强收敛于。

3.定理1.2,1.3和1.4的证明

我们首先证明定理1.4。设(1.8)恒成立,那么且满足不等式(1.3),则定理1.1得证。

对于定理1.3的证明,我们使用下面的引理,正如在[17]中的引理2.3中的有限维情况一样。

引理3.1:假设,令是(1.4)的一个解,那么:

这里。

我们现在证明定理1.3。令是(1.4)的一个解。引理3.1表明并且定理1.1表明(1.2)有一个最大解,(1.4)的一个解。现在定理1.1表明(1.4)也有一个最大解,并在上述讨论中代替任意,可得。

最后,我们证明定理1.2。令是(1.4)的一个解,那么对于任意:

这里。将上述等式与不等式(1.6)比较表明(1.3)对于任意恒成立,所以在定理1.2的证明中,根据定理1.1可以完成证明。

4.应用

标准Riccati方程联系线性二次控制的问题,是(1.1)在时的特例。对于是不等式(1.3)的一个解的情况,定理1.1证明了如果是指数稳定的,那么标准Riccati方程有一最大自伴解。虽然这个解的存在是已知的,但是解的最大性是新结论。应用这个存在性定理,定理1.2,1.3和1.4是Riccati方程在时的存在性定理。

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