在无穷区间上任意函数的连续导数的上确界不等式外文翻译资料

 2022-11-19 15:17:21

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在无穷区间上任意函数的连续导数的上确界不等式

  1. 问题和结果的陈述

考虑一个函数f(x),它的前n个导数在整个实数域上是有界的,这里,第n阶导数的有界性可理解为第(n-l)阶有界导数的导数。我们用Mk(f)表示函数f(x)的k阶导数的绝对值的上确界

我们注意到这里的Mn(f)是(n-1)阶导数的导数的绝对值的上确界

本文的目的是证明一下标注Ⅰ的定理

定理Ⅰ.给定3个正数M0,Mk,Mn(0lt;klt;n);为了使函数f(x)满足

存在,

那么它的充要条件是

其中

不等式(1)可以写为如下形式

这种形式的优点是所有的系数是有理数。我们给出了当时的值

我们还给出了时常数的近似值。

我们对系数的渐进性质做了补充说明。显然

则以下性质成立

  1. 当且n-k有界时,得到

  1. 当且时

特别的是

后面两个关系尤其有趣,因为对于所有n和k,

不等式始终成立。

1914年,定理Ⅰ在n=2,k=1的情况已经被证明,G.E. Shilov证明了所有以及n=5,k=2

的情况。在定理Ⅰ的证明中用到了已知条件是:

对于给定的n和一个任意的k(0lt;klt;n),以及

极值关系 成立

函数,图形如图1所示, N.I. Akhiezer 和 M.G. Krein在更早之前在另一篇文章中提到过这个函数

很容易证明对于函数,关系(4)的有效性表示它对如下形式的任意函数都是有效的

其中,,c是任意常数.选择常数a,b使和满足预先指定的任意正值。E.G.Shilov提出了“对于给定的和,函数(6)得到了极值”的猜想。本文的内容实际上就是对这一猜想的证明。

函数的周期为,并且满足如下关系

通过这种关系,函数的表现形式在整个实数域上是唯一的,这是由它在如下闭区间上的值决定的。

对于,函数在从0到这两个区间上单调变化,类似的周期性和对称性也是函数(6)的特征。函数(形式(6))的周期性和对称性表明了:如果,除了

和,函数在点的值满足 ,也是固定的。

并且,这三个参数精确地在形式(5)的所有函数中指定了两个函数:当时以及当时。用和表示这两个函数(在的情况下相同),能得到

现在考虑一个具有有限(的函数f(x),通过函数f(x)在点的n阶对照函数,将得到形式(6)的一个函数,使

用这个定义我们可以证明下面的定理

定理Ⅱ 如果是函数f(x)在点上的n阶对照函数,则

注意到,对于n=1,导数和不一定存在。然而,在本例中不等式(7)成立,对导数也成立。当k=1时,定理Ⅱ是不等式(1)的加强。事实上,不等式(7)意味着,对于任意,我们可以得到

因为

(这是当k=1时的不等式(1))

定理I和定理II的证明方法如下:

在第二节中,通过考虑这个形式的函数,证明了定理Ⅰ关于条件(1)的充分性;

在第三节中,当k=1时,通过对n的归纳,证明了定理Ⅰ关于条件(1)的必要性以及定理Ⅱ;

在第四节中,对于k的归纳,用来证明条件(1)在普遍情况下的必要性。

sect;2

对于任意正的,关系,对于来说,唯一地确定了因素

当有限(),对于任意函数,我们令

我们称是可行的,如果有一个函数f满足

我们证明如下引理

引理 如果三元组是可行的,那么所有使

的三元组 也是可行的。

证明 根据引理的假设,有一个函数f(x)使

很容易证明对任意,函数满足

选择的常数,使

这些关系和不平等意味着

现在,我们令,其中,d是常数,显然

任意增加与关系式中的常数d,尤其是,可以安排使

因此,我们认为三元组 是可行的。

利用上述引理,很明显,条件(1)的充分性通过“对于任意给定的k和n(0lt;klt;n),至少有一个函数f(x) 使”被证明

公式(5)所确定的函数fn(x)满足了这一条件。实际上,我们可以很容易地证明,对于k=1,2,hellip;,n,我们有关系

关系(8)(9)(2)表明了

sect;3 k=1的情况

在这一节中,我们证明定理Ⅱ和 当k=1时定理Ⅰ对于条件(1)的必要性,要证明这两个命题,只需说明如下:

  1. 当n=1时,定理Ⅱ成立
  2. 若n=m时定理Ⅱ成立,那么n=m 1时,定理Ⅰ的(1)是必要条件
  3. 若n=m时定理Ⅱ成立并且n=m 1时,定理Ⅰ的(1)是必要条件,那么当n=m 1时定理Ⅱ成立

要证明命题A,我们只需注意,对于任何x来说

因此,在n=1的情况下,对照函数的导数的绝对值在定理Ⅱ中是常数

因此,对于n=1,定理Ⅱ的全部内容简化成普通的不等式

我们现在来讨论命题B的证明。通过函数f(x)在点上的n阶的上对照函数,我们令如下形式的函数

使

很容易看出,对于上对照函数,导数的绝对值总是大于相应的对照函数。同样,在任何给定的含有点有限空间中,总是可以选择一个上对照函数时函数本身无限接近并且其导数无限接近导数。因此,

对于每一个n,定理Ⅱ的结论与下述是等价的

定理Ⅱ* 如果是在点的一个n阶上对照函数,那么

我们现在假设当n=m时,定理II和定理II*已经被证明,并且考虑具有有限的函数,其中i最多为m 1。

对于任意小的gt;0,有一个点,在点

在不损失一般性的前提下,我们可以假定gt;0;否则,我们考虑函数而不是。对于函数,我们在点构造了两个对照函数和满足条件

用表示在左端最靠近的函数的零点,用表示在右端最靠近的函数的零点(见图2)。

现在我们证明了在闭区间上和,不等式

分别成立,我们证明了第一个不等式,为此,我们不考虑函数本身,而是考虑一个在点的n阶上对照函数。用表示左端最靠近的函数的零点,并且写出它在区间的不等式

成立。

事实上,如果在区间中的某点不满足不等式,那么点左边会有一个点,它属于区间,在该区间上不等式不成立,在点上,显然能得到

关系(13)表明可以看作在点上的m阶上对照函数。因此,根据定理Ⅱ(假定当n=m时定理已证)

  1. 和(15)之间的矛盾证明了在区间中不能违反不等式(12a)。

如果选择,使它与足够近,则点无限接近,因此,通过讨论(12a)中的极限,我们得到了闭区间上的不等式(11a),(11b)的证明方法是类似的。

不等式(11a)和(11b)表明

如果足够小,则在上无限接近,并且点无限接近函数在右端最靠近的零点(参见图2)。因此不等式(16)的右边可以无限接近

现在,我们发现是的导数

很容易看出,积分(17),在函数两个相邻零点之间扩展,在这之间它是正的,等于

另一方面,因为

根据(16)和(16)的右边无限接近积分(17),我们得到不等式

最后,这个不等式与下列关系

使。

完成了命题B的证明。

我们现在证明命题C。假设当n=m 1和k=1时,条件(1)的必要性已被证明,当n=m时定理II和II* 已被证明。假设,与命题C相反,n=m 1时,定理II*是不成立。那么,有一个函数f(x),它在点处有m 1阶的上对照函数,函数f(x)使不等式

成立。因为,点不能成为的极大点。因此在点上以及。在不失一般性的条件下,我们可以假定以及。如果有必要的话,其他情况可以通过替换来简化,被代替,被代替。也可以选择对照函数使(参见图3)。

定义为在右边最靠近的极大点,我们能得到

因此,在闭区间上,差值在点达到极大值而不是点,在点有

计算函数的导数,我们得到函数

现在我们注意到,由于上对照函数的定义,所以满足

不等式(1),假定n = m 1和k = 1的情形已得到证明,连同(19)的结果

从(20)(21)以及如下关系

结论是,是在点上m阶的一个上对照函数。根据定理II*,假定n=m得到了证明,那么

或者因为,那么

不等式(18)和(22)之间的矛盾证明了命题C。

sect;4 对于任意n ,条件(1)的必要性

假设条件(1)对于所有的n和kle;m(mge;1)的必要性已经被证明。我们将证明,在这种情况下,它对k=m 1也是必要的。为此,我们考虑具有有限(m 1lt;n)的函数f(x)。显然

由于当k=m时,条件(1)的必要性已经被证明,我们得到

等同于

此外在k=1的情况下,对于任意n,条件(1)的必要性已被证明,我们得到

用(23)代替(24),会产生以下结果

因为

最终得到

它证明了需证的命题

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