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耦合非线性薛定谔方程的线性化，解耦和能量守恒的紧致差分格式

王廷春

中国，南京市(210044)，南京信息工程大学，数学与统计学院，信息与计算科学系

摘要：在本文中，我们提出了一种解耦线性紧致有限差分格式来求解耦合非线性薛定谔方程.这个新的格式被证明能保证质量和能量守恒，它是通过运用一个递归算子被定义的.除了标准的能量方法，引入一个归纳论证和一个技术来建立所提出格式的最佳逐点误差估计.在不对网格比率施加任何限制的情况下，数值解的收敛阶数被证明为具有网格大小和时间步长的.报道了数值结果以验证理论分析，并且还模拟了两个孤立波的碰撞.

关键词：耦合非线性薛定谔方程; 线性化和解耦格式; 紧致有限差分格式; 质量和能量守恒; 无条件收敛; 最佳的逐点误差估计

1 引言

物理学中的许多现象，如非线性光学，量子流体/凝聚态物理，引力，生物建模，等离子体物理等，都是用各种形式的非线性薛定谔（NLS）方程模拟的。

就非线性光学中的应用而言，NLS方程描述了单模波在纤维中的传播。根据变量的值，NLS方程允许单个和多个双曲正割解（“明孤子”），以及双曲正切剖面或“暗孤子”解决格式。关于“明孤子”和“暗孤子”的数值，参考文献[1]和其中的参考文献。在许多情况下，纤维还允许传播多个传播模式，在这种情况下，由耦合非线性薛定谔方程(CNLS)方程组[2,3]描述。包含耦合非线性薛定谔系统的模型被用来揭示大量关于各种现象的信息：非线性光学中脉冲之间的相互作用[4-6,10,37];玻色 - 爱因斯坦凝聚[7-9,46]; 非线性声学介质中的信号等等。

一般的CNLS方程式是

， (1.1)

， (1.2)

在这儿，线性耦合参数解释了纤维的扭曲和纤维的椭圆变形所产生的影响。它也被称为线性双折射[11]或相对传播常数[12]。当与具有相同符号时，和描述双折射介质中脉冲信号的自聚焦[3]。参数描述群速度色散，是交叉相位调制，并定义了CNLS系统（1.1-1.2）的可积性。 参数gamma;表现为恒定的环境势，称为归一化双折射[13]。

在本文中，将注意力集中在设计和分析一个准确有效的有限差分方法和模拟相互作用的明亮孤子，它的渐近边界条件是

，，， (1.3)

初始条件是

，， (1.4)

这与渐近边界条件一致。

问题（1.1-1.4）保留了总质量

. (1.5)

总能量

(1.6)

， (1.7)

其中和分别表示的复共轭和实部。

许多数值结果已经在文献中用来研究CNLS方程[4-6,14-29,38-45,47]。在[4]中，Sonnier和Christov提出了一个两能级保持但非线性的耦合有限差分格式，并模拟了CNLS方程的强耦合，并讨论了解析解和数值解。在[5，6]中，Sonnier利用[4]中给出的非线性但能量守恒的有限差分格式，在空间和时间上都是二阶精度，研究了CNLS方程的排斥孤子碰撞动力学。在[14]中，王等人建立了基于能量守恒的数值解的先验估计，然后建立了[4]给出的格式的最优L2误差估计。 在[15]中，王，张，陈提出并分析了一个多辛有限差分格式。在[16]中，蔡提出了强耦合薛定谔系统的两个半显式多辛格式。 当，时，文献[17]-[20]等构造了几种有限差分格式，包括Crank-Nicholson格式，线性化隐式格式，非线性隐式格式以及用于求解CNLS方程的四阶显式Runge-Kutta格式。冯诺依曼方法证明了这些有限差分格式的线性收敛性。 在[21]中，蔡，王，梁使用局部能量守恒和动量守恒算法来解决CNLS系统。 在[22]中，包和蔡建立了具有内部原子约瑟夫森结的双分量玻色 - 爱因斯坦凝聚态的基态的唯一性和唯一性结果，并提出了修正的Crank-Nicholson有限差分格式和修正后向Euler有限差分格式 用于计算这些基态。在[23]中，本文用Galerkin有限元方法数值求解CNLS方程。 在[24,25]中，时间分裂傅立叶伪谱法用于求解CNLS方程。 在[26]中，王等人 提出并研究了一个辛格式的差分格式，证明了在严格的网格比约束条件下L2范数的存在性，唯一性和二阶收敛性，并提出了求解差分格式的迭代算法。在文献[27]中，孙和赵研究了文献[18]中提出的非线性有限差分格式，证明了范数的存在唯一性和二阶收敛性，并提出了另一种有趣的迭代算法来求解非线性格式。在[28]中，周和陈构造了一个使用人工边界在无界区域上求解CNLS方程的数值方法。在文献[29]中，王提出了一个求解CNLS方程的非线性隐式紧致有限差分格式，证明了该方法的有效性，并建立了该格式的最优点方向误差估计。然而，[29]中提出的格式是非线性的，并且在实际计算中耦合，那么迭代是不可避免的，这意味着[29]中的非线性格式花费了CPU时间来实现。因此，本文的目标是提出一个线性化和解耦的紧致有限差分格式来求解CNLS方程，而且，建立格式的最佳点方式误差估计而不对网格比施加任何限制。

费等人 在[30]中指出非保守格式可能容易显示非线性爆炸，并且他们提出了一个新的非线性薛定谔方程的保守线性差分格式。在[31]中，李和Vu-Quoc也表示：“在某些领域，保留原始微分方程的某些不变特性的能力是判断数值模拟成功的标准。“然而，文献中的保守差分格式几乎是非线性的，或者在实际计算中是耦合的。 因此，本文的另一个兴趣是新的线性化和解耦格式被证明能够保持离散意义下的总质量和能量。在这里，网格函数的质量和能量函数是用递归关系定义的。 从这个观点出发，人们可以发现，有许多有限差分格式可以保持离散意义下的总质量和能量。

本文的其余部分组织如下。在第二节中，提出了一个线性化和解耦的紧致有限差分格式，并说明了主要结果。在第三节中，证明了新格式在离散意义上保留了总质量和能量，并且在不对网格比率施加任何约束的情况下建立了新格式的最优点方向误差估计。在第四节中，报告了一些数值结果来验证理论分析和模拟两个孤立波的碰撞。最后，在第五节中得出一些简明的结论。

2 有限差分格式和主要结果

在实际计算中，选择计算域其中和选择得足够大，以确保域截断的影响保持不变，即在这里考虑初始边界值CNLS方程的问题如下，

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

其中，是解的最大存在时间。对于正整数，选择时间步并表示时间步；选择网格大小，其中是正整数，并将网格点表示为。令和分别表示数值近似，并且分别表示点处的的精确解，其中和。

表示一个网格函数的空间

和两个阶矩阵

对于的网格函数，引入以下符号，

很明显

(2.5)

将中的离散内部积和模定义如下

(2.6)

(2.7)

其中。在整篇文章中，让表示一个一般的正常数，它在不同情况下可能有不同的值，但与离散参数无关。

引理2.1. ([29]). 矩阵A和B是正定的，并且满足以下性质：
(a) 矩阵A和B的特征值是

(2.8)

(b) A和B具有相同的特征向量，即

(2.9)

(c)

基于上述引理和(2.5)，得到

(2.10)

其中。用定义的范数是有意义的，如下

(2.11)

使用部分总和和内部积和模(2.6) -(2.7)的定义，可以得到这个结论

(2.12)

那么，从引理2.1和(2.11-2.12)可以得到下面的引理，

引理2.2. 对于任何网格函数，有

(2.13)

(2.14)

引理2.3. 对于任何函数，有

(2.15)

证明. 对于(2.15)的证明，d=1时，在第[32]页；d=2时，在第[33，34]页；d=3时，在第[35]页。

引理2.4. 对于任何格网函数，有

(2.16)

证明. 注意引理2.1和(2.10)-(2.12)，有

(2.17)

这完成了证明。

引理2.5. ([36]). 对于任何格网函数，有

(2.18)

现在，为了解决问题(2.1-2.4)，给出以下有限差分格式，

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

格式(2.19)-(2.22)与[39]中给出的非线性紧致有限差分格式的主要区别在于非线性项和线性耦合项的不同离散化。在这里使用局部外推法而不是[39]中使用的中心差分法来离散线性耦合项和非线性项的系数。虽然线性格式(2.19)-(2.22)预期会比[39]中的非线性格式更高效，更准确，但是它是一个三级的格式，不能自行开始，所以需要另外两个格式 （在本文中，采用[39]中给出的格式）来计算和，就是，

(2.23)

(2.24)

为便于分析，将上述格式(2.19-2.24)改写为以下等效形式

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

在说明主要误差估计结果之前，对问题(1.1)-(1.4)的精确解和进行如下假设：

定义“误差”函数为

(2.31)

那么对于解耦格式(2.19)-(2.24)，有

定理2.1. 在假设(A)下，存在且都足够小，当且时，有紧致有限差分格式(2.19)- (2.24)：

(2.32)

3 数值分析

在本节中，分析了守恒定律，局部截断误差以及线性化和解耦格式(2.19)- (2.22)的收敛性。

1. 离散意义下的总质量和能量

令和表示这样的两个网格函数，并分别用和表示和。他们被定义为

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

基于上述准备，给出以下定理，

定理3.1. 线性化和解耦格式(2.19)-(2.24)保留了离散意义上的总质量和能量，也就是说，

(3.6)

(3.7)

证明. 用计算(2.25)的内积，然后取虚部，得到

(3.8)

注意到

(3.9)

(3.10)

(3.11)

从(3.8)中获知

(3.12)

同样，用计算(2.26)的内积然后取虚部，得到

(3.13)

把式(3.13)加到式(3.12)并注意到(3.4)-(3.5)，获知

(3.14)

注意到的定义，可以将(3.14)改写为

(3.15)

同样，可以获知

(3.16)

然后结合(3.16)和(3.15)给出(3.6)。

用计算(2.25)的内积，然后取实部，得到

(3.17)

其中使用(2.11)-(2.12)和引理2.4。同样，用计算(2.26)的内积，然后取实部，可以得知

(3.18)

将(3.18)加到(3.17)并注意(3.1)给出

(3.19)

这与的定义一起给出

(3.20)

同样，可以得知

(3.21)

结合(3.20)和(3.21)给出(3.7)。这完成了证明。

1. 无条件最优误差估计

在本节中，除了标准能量方法之外，引入了归纳论证以及技术来建立新格式的最佳点方式误差估计，而不对网格比率施加任何限制。数值分析可以直接推广到建立其他有限差分格式的薛定谔方程的无条件最优点的误差估计。

定义局部截断误差如下

(3.22)

(3.23)

(3.24)

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